Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Дг 1
вив разностное отношение = д—, легко доказать существование
"Az
и непрерывность производной ср' (W0) при условии I /' (Z0) I ф 0.
5. Пусть в области S плоскости х, у задана функция и (х, у), являющаяся действительной частью аналитической функции f(z). Тогда мнимая часть этой функции определяется с точностью до аддитивной постоянной. Действительно, в силу условий Коши — Римана по заданной функции и(х,у) однозначно определяется полный дифференциал неизвестной функции v(x, у):
dv = vxdx + Vydy = — Uydx + uxdy,
что и доказывает высказанное утверждение**).
6. Пусть функция f(z) является аналитической в области 'S. Рассмотрим в соответствующей области плоскости х, у семейства кривых и(х, у) = С и V(х, у) = С, представляющие собой линии уровней действительной и мнимой частей функции f(z). С помощью соотношений (1.17) легко показать, что во всех точках данной области grad и ¦ grad v = uxvx -\- uyvy = — йхиу -J- иуих = 0. Так как градиент ортогонален линии уровня, то отсюда следует, что семейства кривых и(х, у) = С и v(x, у) = С взаимно ортогональны.
*) Об условиях существования неявных функций см. вып. 1, стр. 538. **) Определение функции двух действительных переменных по ее полному дифференциалу см. вып. 2, стр. 174.
§ 4] дифференцирование функции комплексной переменной
35
3. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной. Пусть f(z) является аналитической функцией в некоторой области S. Выберем какую-либо точку Z0^S и проведем через нее произвольную *) кривую Y1, целиком лежащую в S. Функция f(z) производит отображение области S комплексной плоскости z на некоторую область О комплексной плоскости w. Пусть точка Z0 переходит в точку W0, а кривая Yi — в проходящую через W0 кривую T1 (рис. 1.7). По условию существует производная /' (z) функции w = f(z) в точке z0. Предположим, что /' (Z0) ф О, и представим комплексное число /' (Z0) в показательной форме **):
/'(*o) = Hm ^ = АЛ (1.22)
Выберем такой способ стремления Az к нулю, при котором точки z = Z0-S- Az лежат на кривой Yi- Очевидно, соответствующие им точки
Рис. 1.7.
W = wu-{-Aw лежат на кривой T1. Комплексные числа Az и Aw изображаются векторами секущих к кривым Yi и T1 соответственно. Заметим, что arg Az и arg Aw имеют геометрический смысл углов соответствующих векторов с положительными направлениями осей х и и, a I Az I и I Aw | представляют собой длины этих векторов. При Az-^Q векторы секущих переходят в векторы касательных к соответствующим кривым. Из (1.22) следует, что
a = arg/' (Z0)= Hm arg Ада— lim arg Az = Фх — Cp1, (1.23)
Az-O Az-O
т. е. аргумент а производной имеет геометрический смысл разности угла Фх вектора касательной к кривой T1 в точке W0 с осью и и угла Cp1 вектора касательной к кривой Yi в точке Z0 с осью х (рис. 1.7).
*) Здесь и в дальнейшем, если это не будет оговорено особо, под произвольной кривой мы понимаем гладкую кривую.
**) Условие /' (Z0) ф 0 необходимо для возможности такого представления.
36
функции комплексной переменной
[гл. 1
Так как производная /' (z0) не зависит от способа предельного перехода, то эта разность будет той же и для любой другой кривой, проходящей через точку Z0 (хотя значения самих углов Фг и Cp1 могут измениться). Отсюда следует, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией f(z), удовлетворяющей условию f'(z0)+0, угол ф = фг — ері между любыми кривыми у2> у1( пересекающимися в точке Z0, равен углу Ф = Ф2 —O1 между их образами (кривыми T2 и T1), пересекающимися в точке W0 = f{z0). Заметим, что при этом сохраняется не только абсолютная величина углов между кривыми у2, Y1 и их образами, но и направление углов. Это свойство данного отображения носит название свойства сохранения углов. Аналогично из соотношения (1.22) получим
A = 1/'(Z0)I = "m (1.24)
дг _> о ( az I
То есть с точностью до величин более высокого порядка малости имеет место равенство | Aw \ = k \ Az \. Заметим, что и это соотношение не зависит от выбора кривой Yi- Геометрический смысл этого соотношения состоит в том, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией, удовлетворяющей условию /' (z0) ф 0, бесконечно малые линейные элементы преобразуются подобным образом, причем |/'(z0)| определяет коэффициент преобразования подобия. Это свойство данного отображения носит название свойства постоянства растяжения.
Отображение окрестности тояки Z0 на окрестность точки w0, осуществляемое аналитической функцией w=f(z) и обладающее в точке Z0 свойством сохранения углов и постоянством растяжений, называется конформным отображением. При конформном отображении окрестности точки Z0 на окрестность точки W0 бесконечно малые треугольники с вершиной в точке Z0 преобразуются в подобные им бесконечно малые треугольники с вершиной в точке W0. Более подробное изложение основных понятий теории конформного отображения будет дано в гл. 6.
4. Примеры. В заключение данного параграфа отметим, что, как легко проверить, линейная функция и функция W = 2а, введенные в предыдущем параграфе, являются аналитическими функциями на
