Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
107
3. Гомотетия может быть задана двумя парами соответственных точек А, А' к В, В', которые удовлетворяют следующему условию: векторы AB и А 'В' или параллельны, или принадлежат одной прямой. Кроме того, если векторы
AB и А'В' имеют одинаковое направление и не совпадают, то они не равны между собой. Покажем, что при соблюдении этих условий гомотетия определена.
а) Пусть векторы AB и А'В' параллельны (черт. 99 а, 100 б). Проведем прямые Л Л 'и ВВ\ которые пересекутся в не-
A' В'
которой точке S, и возьмем число k, равное отношению -^g-
при одинаковой ориентации векторов AB и AB' и этому отношению со знаком минус при противоположной ориентации данных векторов. В силу § 34 мы можем записать, что
А'В' SA' SB' и и^п
= = Легко видеть, также, что при k > 0
S лежит вне отрезка Л Л', а при k < 0 — внутри него.
/
M fi
Черт. 99 а Черт. 99 б
Зададим теперь гомотетию ср центром S и коэффициентом k. Тогда точки А и В отобразятся в точки А' и В'. Гомотетия ср является, таким образом, искомой.
Построение точки M', гомотетичной точке M1 можно провести, не пользуясь центромS. Для этого проведем через точки А' и В' прямые, параллельные соответственно прямым AM и BM9 и построим точку их пересечения M'. Точка, гомотетичная M1 в силу свойств гомотетии, должна лежать на тех же прямых. Отсюда следует, что она совпадает с M'.
108
Если точка N лежит на AB1 то для построения ей гомотетичной точки возьмем сначала точку M1 не лежащую на AB, построим ей соответственную точку M' и воспользуемся в том же порядке парами A1 А' и M1 М\
б) Пусть теперь векторы AB Yi А'В' принадлежат одной
Черг. 100 а
прямой (черт. 100а, 100 6). Повернем их вокруг точек Л и А' в одном направлении на равные углы. Пусть они займут положения AC и А'С. Зададим гомотетию двумя парами точек Л, Л' и C1 С'. Легко видеть, что прямые ВС и В'С параллельны. Отсюда следует, что при заданной гомотетии точки В и В' будут соответственными. Следовательно, и в этом случае гомотетия вполне определена.
Задача. Провести прямую через точку M и точку пересечения двух прямых а и Ь, если последняя находится за пределами чертежа (следовательно, пользоваться ею при построении нельзя).
Черт. 100 б
Черт. 101
Пусть S — точка пересечения прямых а и Ь. Нам надо построить прямую MS1 не строя саму точку S (черт. 101).
109
Для этого проведем две параллельные прямые AB и А'В', пересекающие прямые а и Ъ соответственно в точках А, А' и B1 В\ Зададим гомотетию этими двумя парами точек и построим точку M', гомотетичную точке M способом, указанным выше. Прямая MM' должна пройти через центр гомотетии и поэтому будет искомой.
§ 37. Гомотетия окружностей
Будем в дальнейшем рассматривать гомотетию на плоскости, т. е. будем считать, что центр гомотетии и гомотетичные фигуры расположены в одной плоскости.
Теорема. Фигура, гомотетичная окружности, есть окружность.
Пусть задана прямая гомотетия ср и окружность О (черт. 102). Ее центр О и произвольная точка M отобразятся соответственно в О' и M', причем
О'M' Il OM и У?- = к. Отсюда:
Черт 102 О'M' = k • OM = const
для любой точки M данной окружности.
Следовательно, все точки окружности О отобразятся в точки окружности О'. При гомотетии ср-1, обратной гомотетии ср, все точки окружности О' отобразятся в точки окружности О. Отсюда вытекает, что всякая точка M' окружности О' гомотетична некоторой точке окружности О. Значит, окружность О' гомотетична окружности О.
Черт. 103
ПО
Теорема. Любые две неравные окружности можно рассматривать как гомотетичные фигуры и притом двумя различными способами (как прямо гомотетичные и как обратно гомотетичные фигуры).
Пусть даны две такие окружности О и О' (черт. 103). Проведем в них два параллельных и одинаково направленных радиуса OA и О'А' и зададим прямую гомотетию двумя парами соответственных точек О, О' и A1 А' (что возможно, так как OA Ф О'А'). При такой гомотетии в силу предыдущей теоремы одна из данных окружностей отображается в другую. Центр гомотетии S (внешний центр подобия данных окружностей) является точкой пересечения прямой AA' с линией центров 00'.
Возьмем теперь два параллельных и противоположно направленных радиуса OA и О'А" и зададим обратную гомотетию двумя парами соответственных точек O1 О' и A1A". Очевидно, что при этом окружности будут также гомотетичны. Центр гомотетии (внутренний центр подобия данных окружностей) является точкой пересечения прямой AA" с линией центров 00'.
Если из центра подобия можно провести касательную к одной из окружностей, то это будет общая касательная данных окружностей. Действительно, пусть прямая ST касается окружности О и T — точка касания. Пусть точке T в окружности О' соответствует точка T'. Так как прямая ST с окружностью О имеет только одну точку, то с окружностью О' она имеет тоже только одну общую точку T' (иначе двум различным точкам окружности О' соответствовала бы только одна точка окружности О, что невозможно), т. е. касается ее в этой точке.
