Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рос (OA) = poD(OB)t
т. е. длина отрезка OA при единице измерения ОС равна длине отрезка OB при единице измерения OD.
Пусть стороны угла представляют арифметизированные лучи с единичными отрезками ОС = E (для луча ОС) и OD = E' (для луча OD) и пусть точка А совпадает сметкой а = п, P1 р2 ... pt, т. е.
Pe (OA) = а. Если Et=^fE, т. е. E= 10' Et, то OA = а-10'E,.
Следовательно, если отрезок Et откладывать последовательно на луче ОС от вершины О, то отрезок ОС разделится на 10' равных частей, а отрезок OA — на а • 10' таких же частей. Если, далее, через полученные точки деления мы проведем прямые, параллельные CD, то отрезок OD разделится на 10' равных частей, a OB — на а • 10' таких же частей. Пусть
E't=-±fE', т. е. E' = OD = 10'EV
Тогда
OB = а - 10' E't. Отсюда следует, что рЕ, (OB) = а, т. е.
Рв, (ОЯ) = р? (OA),
а это и требовалось установить.
Пусть теперь рЕ (OA) = а, где а — бесконечная десятичная дробь: ol = п, P1 р2 ... pt ...
Возьмем на луче ОС точки А~и Л+, соответствующие меткам а у = л, P1 р2 ... и а+ = п, P1 р2 ... р, _! (р, + 1).
Тогда OA ~ < ОЛ < ОЛ+.
Проведем через Л - и Л + прямые, параллельные Л? (черт. 90). На луче OD мы получим соответственно точки В— и В +, причем
OB- <ОВ < 05+. По рассмотренному случаю:
РЕ'(ОВ-) = а- и р?'(05 + )=оф
100
Поэтому
ay <ре> (O?)<a + при любом t. Отсюда следует, что
9е' (OB) = а, т. е. (OB) = рЕ (OA).
Выведем теперь некоторые следствия из доказанной теоремы.
Для рассматриваемых отрезков мы имеем пропорцию. OA OB с -п ^
ОС = OD' БУдем при этом считать, что ОС < OA.
Черт. 90
Черт. 91
Из производной пропорции
AC BD ___ AC BD
OA — ОС OB — OD
= —OD— СЛЄДУ-
OC ОС
ет также, что ос = OD или BD = 05' т* е# следУет ПР°"
порциональность отрезков AC и BD отрезкам ОС и OD.
и « AC BD л „
Из производной пропорции OC ^ = QD + ^D следу-
AC BD
ет, что ^j- = Q? , т. е. следует пропорциональность отрезков AC и OA отрезкам BD и OB.
Проведем теперь через точку D прямую, параллельную OA (черт. 91). Пусть она пересечет AB в точке М. Тогда, применяя последнее следствие для угла В и параллельных прямых OA и DM9 получим:
OD _ AM OB ~ AB'
Так как AM = CD9 то имеем:
OD OB
CD AB'
101
Итак, мы можем записать, что для Л ОЛВ и прямой CD ОД _ OB _ AB ОС ~~~ OD ~ CD
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Если провести прямую, пересекающую боковые стороны треугольника и параллельную основанию его, то отношение основания к отрезку секущей, лежащему внутри треугольника, равно отношению боковой стороны к ее отрезку, не прилегающему к основанию.
Обратная теорема. Если на одной стороне ^ AOB от его вершины отложить отрезки OA и ОС (черт. 89), а на другой стороне этого угла отложить отрезки OB и OD такие, что
04 _ ов ОС ~ OD1
то прямые AB и CD будут параллельны.
Пусть от вершины угла О отложены отрезки ОС и OA
на одной из его сторон и отрезки OD и OB на другой стороне
OA OB j-r л л
и пусть при этом QQ = QQ- Проведем прямую А В и через
точку С прямую, параллельную AB. Эта прямая, очевидно, пересечет луч OB в некоторой точке D'. Тогда по прямой теореме
OA = 0В_ ОС OD''
Сравнивая полученную пропорцию и данную, делаем вывод, что
OD = OD',
т. е. точки DnD' совпадают.
Отсюда следует, что CD \\ AB, что и требовалось доказать.
ГЛАВА V
ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ § 35. Определение и свойства гомотетии
Определим умножение вектора на действительное число k следующим образом: произведение k AB представляет вектор AB', одинаково направленный с вектором AB при k > О
102
и противоположно направленный с этим вектором при k < О, причем
ж- W-
Будем при этом употреблять обычный знак равенства: AB' = k AB.
Гомотетией с центром S и коэффициентом k (k Ф 0) назовем преобразование, при котором любая точка M отображается в точку M', удовлетворяющую условию SM' =kSM.
При этом мы принимаем, что центр гомотетии соответствует сам себе.
Из определения гомотетии следует, что:
а) точки S1MnM' лежат на одной прямой;
б) при k > 0 соответственные точки M и M' лежат по одну сторону от центра 5 (черт. 92). В этом случае гомотетия называется прямой;
і-1-\
i-і-'
M S ЛҐ
Черт. 92
в) при k < 0 соответствующие точки M и M' лежат по разные стороны от центра S. В этом случае гомотетия называется обратной.
Гомотетия иначе называется центрально-подобным преобразованием. Будем ее обозначать символом ср.
Рассмотрим некоторые свойства гомотетии, вытекающие непосредственно из ее определения.
1. При гомотетии каждой точке соответствует только одна точка, разным точкам соответствуют также разные точки. В силу этого гомотетия является взаимнооднозначным точечным преобразованием.
2. Преобразование, обратное гомотетии, есть гомотетия
с тем же центром и коэффициентом k' = -і-.
Действительно, при обратном преобразовании, отображающем точку M' в точку M1 выполняются все условия гомотетии, причем абсолютная величина коэффициента го-
