Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Такой метод решения задач на построение называется методом подобия. Отметим следующие варианты этого метода.
1. Условие O1 выражает равенство некоторого отрезка, связанного с искомой фигурой определенным образом, данному отрезку Р. Построив фигуру F9 мы строим затем отрезок Q9 связанный с ней указанным образом. После этого строим искомую фигуру F09 как подобную фигуре F при
P
коэффициенте подобия k =
2. Условие O1 выражает принадлежность некоторых точек искомой фигуры F0 данной фигуре Ф. В этом слу-
121
чае надо построить фигуру F1 гомотетичную искомой фигуре. Затем, ПОЛЬЗУЯСЬ центром ГОМОТеТИИ И уСЛОВИеМ OC1,
из фигур, гомотетичных F1 выбираем искомую.
Приведем примеры задач обоих типов.
Задача 1. Построить треугольник по углу при основании и сумме двух медиан, проведенных к боковым сторонам, при условии, что отношение основания к высоте равно отношению данных отрезков PhQ.
Решение. Строим Д ABC по основанию AC = P1 высоте BD = Q и данному ^ ВАС (построение показано на чертеже 111). Построенный треугольник дает решение задачи с точностью до подобия.
Ааио
Черт. 111
Пусть сумма медиан задана отрезком S0. Строим сумму S медиан Л ABC1 проведенных из вершин А и С. Чтобы построить искомый треугольник F01 подвергнем Д ABC гомотетии с центром в вершине Лис коэффициентом
k = -?-. Гомотетию при этом зададим парой соответственных точек E и E0 так, что AE =S, a AE0 =*= S0. Полученный Д AB0C0 будет искомым. Детали построения показаны на чертеже (C0E0 |] CE1 C0B0 || CB).
Заметим, что в качестве центра гомотетии можно взять любую точку плоскости. Выбор в качестве центра вершины треугольника А упрощает построение.
122
Задача 2. В данный сегмент вписать квадрат ABCD так, чтобы вершины его А и D лежали на хорде, а вершины В и С на дуге этого сегмента.
Анализ. Пусть ABCD-искомый квадрат (черт. 112). Построим на хорде A1D1 квадрат A1B1C1D11 расположенный по одну сторону с данным сегментом от прямой ^1D1. Пусть T — середина хорды A1D11 а следовательно, и отрезка AD. Поэтому гомотетия с центром T
ТА
и коэффициентом k = отоб-
ражает квадрат A1B1C1D1 в квадрат A BCD.
Построение начинаем с квадрата A1B1C1D1. Вершины искомого квадрата В и С определяются как точки пересечения дуги сегмента с отрезками, соединяющими точки B1 и C1 с серединой T хорды A1D1 (доказательство следует из свойств гомотетии).
Если точки B1 и C1 не находятся внутри сегмента, то задача имеет единственное решение.
Точки S1 и C1 будут находиться внутри сегмента, если
его дуга превышает -г- всей окружности. В этом случае
Черт. 112
задача не имеет решения.
ГЛАВА VI
ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ ОКРУЖНОСТЕЙ
§ 42. Степень точки относительно окружности
Если через точку M (черт. ИЗ а, 1136) провести прямую, пересекающую окружность О в точках А и B1 то произведение MA • MB1 как известно из школьного курса, не зависит от выбора секущей MA. Если точка M лежит вне окружности, то
MA . MB = МТ\
где MT — отрезок касательной, проведенной из точки M (от точки M до точки касания).
123
Напомним, что в данном равенстве под MA, MB и MT подразумеваются длины соответствующих отрезков. Оно является упрощенной записью следующего равенства:
P (MA) . 9(МВ) = [p(MT)f.
Черт. 113 а Черт. 113 б
В данной главе будем и дальше пользоваться подобного рода упрощенной записью.
Проведем через точку M секущую, проходящую через центр окружности О. Пусть P и Q — точки пересечения секущей с окружностью, причем MP < MQ. Если точка M лежит вне окружности, то
MA - MB = MP - MQ = (МО — R) (МО+ R) =M02 — R2,
где R — радиус окружности.
Если же точка M лежит внутри окружности, то
MA-MB = MP-MQ = (R — МО) (R+МО) = R2 — МО2.
Степенью точки M относительно окружности О (R) назовем число МО2 — R2.
Если через точку M провести к данной окружности секущую, то произведение длин отрезков ее от точки M до точек пересечения с окружностью равно абсолютной величине этого числа.
Для трех возможных случаев расположения точки М\
МО > R, МО < R и МО = R,
степень ее относительно окружности будет соответственно положительной, отрицательной и равной нулю.
Если точка M лежит вне окружности, то степень ее относительно этой окружности равна квадрату длины отрезка касательной, проведенной из точки M (считая от точки M до точки касания).
124
Часто бывает выгодно рассматривать точку как окружность нулевого радиуса (нулевая окружность). Тогда степень точки M относительно нулевой окружности О (т. е. точки О) равна AfO2.
§ 43. Радикальная ось
Рассмотрим две окружности Oi (Ri) и О2 (R2). Для определенности считаем, что Ri > R2. Поставим задачу отыскать те точки плоскости, каждая из которых имеет одинаковые степени относительно данных окружностей.
Если Ri ф R2 и окружности Oi и О2 концентрические (центры Oi и О2 совпадают), то для любой точки M
MOh — Rh Ф MOh — Rh.
Следовательно, в этом случае нет точек, имеющих одинаковые степени относительно данных окружностей.
