Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Шоластер Н.Н. -> "Элементарная геометрия" -> 29

Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.

Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия. Под редакцией Иваницкой В.П. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): egnnsholaster1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 79 >> Следующая


Из аксиомы Архимеда следует, что найдется такое натуральное число я, для которого (п + 1) EyOM1 но пЕ<ОМ. Следовательно, точка M будет заключена между метками" с координатами п и п + 1.

От меток с целыми координатами перейдем к меткам, координаты которых имеют один десятичный знак, затем два знака, три знака и т. д. Получим:

M находится между метками с координатами: п и п + 1,

Yl1 P1 И Tl1 (P1 + 1), U1 P1P2 И H1 P1 (р2 + 1), п, Pi P2 Рг и я, рг р2 (ps + 1), H1P1P2... pt и H1P1P2... (pt+ 1)

и т. д.

В результате этого процесса (бесконечного перехода от меток порядка t к меткам высшего порядка) получим действительное число а, изображаемое бесконечной десятичной дробью R1 P1P2... pf... .Это число сопоставим с точкой М.

Из леммы следует, что в этом числе будет бесконечное множество десятичных знаков, отличных от нуля, так как между меткой с координатой п и точкой M существует бесконечное множество меток. Очевидно, что

/г, P1P2 ... pt^lPt<a ^n1P1P2... pt_x(pt+ 1) при любом t.

89

Из этой же леммы следует, что число ?, соответствующее другой точке N, отлично от а. Действительно, между точками M и N находится бесчисленное множество меток и поэтому числа а и ?, начиная с некоторого десятичного знака (если целые части их равны), должны отличаться друг от друга.

Ясно также, что ? > а, если ON > ОМ. Действительно, между точками MnN существует метка А такая, что а < а и а < ?, отсюда a<?.

Итак, каждой точке луча соответствует единственное действительное число. Эти числа возрастают по мере удаления точек луча от его начала.

Мы можем сказать, что луч h арифметизирован, и принять его в качестве абстрактной линейки для измерения отрезков.

§ 31. Измерение отрезков

Перейдем теперь к измерению отрезков.

Установить систему измерения отрезков — значит каждому отрезку поставить в соответствие действительное неотрицательное число, называемое длиной этого отрезка, так, чтобы выполнялись следующие три условия:

1) равные отрезки имеют равные длины,

2) если отрезок представляет сумму двух отрезков, то его длина равна сумме длин слагаемых отрезков',

3) длина определенного отрезка E равна единице.

Из условия 2 следует, что большему отрезку соответствует большая длина.

Установим систему измерения отрезков при помощи абстрактной линейки — арифметизированного луча.

Пусть имеем произвольный отрезок А В. Возьмем на ариф-метизированном луче h точку M так, что OM = AB. Такая точка всегда существует и притом только одна. Точке M соответствует число а, которое назовем длиной отрезка AB и обозначим символом р (AB):

р (AB) = а.

Отсюда следует, что любой отрезок имеет длину и что равные отрезки имеют равные длины. Ясно, что больший отрезок имеет большую длину, так как ему будет соответствовать более удаленная точка луча.

90

Легко видеть, что р (E) = 1. Отрезок E назовем единицей измерения.

Итак, условия 1 и 3 выполнены.

Чтобы найти длину отрезка AB, мы отложили его на нашей «линейке» от начала O9 получили точку M9 которой соответствует число а. Посмотрим, что получится, если этот отрезок мы отложим не от точки O9 а от любой точки К в направлении от О к К

(по лучу). При этом мы по- 0 ; h?) Ф)

лучим на «линейке» отре-зок KL9 равный AB Черт. 84

(черт. 84). Пусть точкам

/ChL соответствуют числа ? и у. Докажем, что р (AB) = = p(KL) = ч — ?, т. е. а = у — ?.

Случай 1. р и у — конечные десятичные дроби. Будем считать, что они имеют одинаковое число десятичных знаков. Этого мы можем всегда достичь, приписывая справа у одной из дробей необходимое количество нулей.

Пусть

? = 6, Q1 q2 ... qt, у = с, S1 S2 ... st.

Тогда

OL = у. 10' Et9 OK = ?-10'E,.

Отсюда:

KL = OL — OK = ( у— P) 10'?,. Так как OM = KL9 то в отрезке OM отрезок Et уложится точно (у— ?) -1 раз. Следовательно,

а = у — ?.

Случай 2. Оба числа ? и у — бесконечные десятичные дроби, или таковой является одно из них.

Рассмотрим приближенные значения этих чисел с t знаками после запятой:

Р7 = Мі<72- <7*-1<7/<Р<&. ?i?2... <7/-i(<7, +I) = Pt.

У 7 = С, S1 S2 ... S,_ !S,<y < С, S1 S2 ... S, _ ! (S, + 1) =* у+

Так как у > ?, то мы всегда можем взять такое число десятичных знаков, что ?+ < уу.

Числам ? у, ?+, у у, у + на арифметизированном луче соответствуют точки К~, /C+, L- и L+ (черт. 85). Так

91

как большему числу на луче соответствует более удаленная от начала точка, то отсюда следует, что

K + L~<KL<K-L + .

Из случая 1 следует, что

p(K + L-) = T7-?+ P(K-L + ) = T+-?7-

Черт. 85

Так как, кроме того,

9(K + L-)<9(KL)<9(K-L + ),

а

р (KL) = р (А В) = а,

то

T7-?t<a<Tt-?7

при любом t.

Из определения вычитания действительных чисел следует, что тогда

а = у — р.

Теорема. Если отрезок является суммой двух отрезков, то его длина ровна сумме длин слагаемых отрезков.

Если AC = AB + BC1 то р (АС) = р (AB) + р (ВС). Отложим отрезок AC на арифметизированном луче от начала О (черт. 86).

Пусть точки A1 В и С \_І._5 совпадут соответственно с
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed