Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Будем в дальнейшем считать, что окружности O1 и O2 не являются концентрическими.
Возьмем прямую AB1 перпендикулярную линии цент- Черт. 114 ров. Пусть M — произвольная точка прямой AB1 M0 — точка пересечения прямой AB с линией центров (черт. 114). Найдем разность степеней точки M относительно окружностей O1 и O2:
t = (M 0\ — R\) — (М0\ — R\).
Но
М0\ = Af0O2x + M0M2, М022 = Af0O22 + M0M2. Отсюда после упрощений получим:
t = (М00\ - R\) - (Af0O2, - R\).
Разность степеней любой точки прямой AB относительно окружностей Oi и О2 равна разности степеней точки M0 относительно этих окружностей.
Обозначим расстояние O1AJ0 через х, причем будем считать X > 0, если Al0 и О2 лежат на линии центров по одну сторону от точки Oi и X < 0, если эти точки лежат по разные стороны от точки O1. Тогда положение точки M0 на
125
линии центров вполне определено для каждого значения х. Легко видеть, что при любом положении
O2M0 = {O1O2 — х\ = \d — 4
Выразим разность степеней точки M0 (а значит, и разность степеней любой точки M на прямой AB) через х:
t = (x2- R\) - [(d - xf - R\] = 2dx - [d2 + (R\ - R\)].
Таким образом, t — линейная функция х. Следовательно, разным точкам линии центров соответствуют разные значения t. Если мы возьмем определенное значение t, то на линии центров существует единственная точка, разность степеней которой относительно окружностей Oi и О2 равна t. Расстояние ее от центра Oi будет равно:
& + (R\ -/?? + t х 2d '
Возьмем теперь точку M', не лежащую на прямой AB. Пусть М'0 — основание перпендикуляра, опущенного из M' на линию центров. По доказанному разности степеней точек M' и M'0 относительно окружностей Oi и О2 одинаковы. Так как М'0 отлично от M0, то, следовательно, разность степеней точки M' относительно данных окружностей отлична от t.
Таким образом, мы приходим к следующему геометрическому месту точек:
Геометрическое место точек, разность степеней каждой из которых относительно двух данных неконцентрических окружностей имеет одно и то же значение, есть прямая, перпендикулярная линии центров.
Особый интерес представляет случай, когда t = 0. В этом случае степени каждой точки данного геометрического места относительно данных окружностей равны.
Геометрическое место точек, каждая из которых имеет равные степени относительно двух данных концентрических окружностей, есть прямая, перпендикулярная линии центров.
Данная прямая называется радикальной осью двух. окружностей.
Расстояние радикальной оси от центра окружности О будет равно
d2 + (R\ - R\) х- 23-•
Так как Ri > R2, то х > 0. Следовательно, точка пе-
126
ресечения радикальной оси с линией центров и центр окружности O2 лежат по одну сторону от центра окружности O1.
Рассмотрим отдельные случаи расположения окружностей (§ 11).
1. R1 +R^cIyR1-R2, окружности O1 и O2 пересекаются в точках А и В (черт. 115).
Так как степени точки А относительно обеих окружностей равны между собой (каждая из них равна нулю), то А—точка радикальной оси. Тоже справедливо относительно точки В. Радикальной осью окружностей O1 и O2 прямая АВ.
2. d = Ri + Rz или d = Ri — Rz1 окружности Oi и О2 касаются в точке А (черт. 116 а, 116 б).
) 4 )
(в у
Черт. 1
15
является
А о 1
і І ]
Черт. 116 а Черт. 116 б
Радикальной осью окружностей Oi и Ог является их общая касательная, проходящая через точку А.
Черт. 117
Черт. 118
127
3. d > Ri + R2 (черт. 117), одна окружность находится вне другой.
Радикальная ось не может пересекать одну из окружностей, так как степень точки пересечения оси с окружностью относительно первой окружности была бы равна нулю, а относительно второй окружности была бы положительной.
Так как в этом случае
(P > R\ - R\,
то
у _ d*+(Rh-^2) & +d* _ . Х - 2d ^ 2d ~ а-
Следовательно, радикальная ось окружностей O1 и O2 пересечет линию центров в точке, лежащей между центрами Oi и О2, и пройдет вне окружностей.
Построение радикальной оси для этого случая будет показано в следующем параграфе.
4. d <Ri — ?2 (черт. 118), окружность Ог лежит внутри окружности Ol.
Повторяя приведенные выше рассуждения, придем к выводу, что радикальная ось не пересекает данных окружностей. Она пройдет целиком вне окружностей Oi и О2.
§ 44. Радикальный центр
Возьмем три окружности Oi, О2 и Оз, центры которых не лежат на одной прямой (черт. 119). Пусть ltj — радикальная ось окружностей O1 и Oj = 1, 2, 3; іФ /).
Так как точки O1, O2 и Оз не лежат на одной прямой, то радикальные оси /12 и Z23 пересекутся в некоторой точке Р. Степени точки P относительно окружностей O1 и O2 одинаковы, так как она лежит на радикальной оси этих окружностей . По такой же причине одинаковы степени этой точки относительно
Черт. 119
128
окружностей O2 и O3. Итак, степени точки P относительно трех данных окружностей одинаковы. Следовательно, эта точка лежит также на радикальной оси /13. Мы пришли к следующему выводу:
