Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если в качестве единицы измерения взять отрезок
E' = CD, то р?, (CD) = 1 и ^ = р?, (АВ).
Отношение отрезка AB к отрезку CD равно длине первого отрезка при условии, что единица измерения равна второму отрезку.
Если отрезки AB и CD соизмеримы, то их отношение является рациональным числом ,так как оно равно pcd(AB). Очевидно и обратное: если отношение отрезков выражается
т
рациональным числом —, то отрезки соизмеримы, так как
TYl 1
тогда pcd (А В) = —, а это обозначает, что — часть отрезка CD укладывается в AB точно т раз.
Отсюда следует, что если отрезки несоизмеримы, то их отношение выражается иррациональным числом.
96
§ 33. Задача, обратная задаче измерения отрезков
Всякой точке арифметизированного луча соответствует положительное действительное число, причем разным точкам соответствуют разные числа. Можем ли мы утверждать, что между точками зтого луча и множеством действительных неотрицательных чисел установлено взаимно однозначное соответствие?
Для положительного ответа на этот вопрос требуется еще одна аксиома.
Пусть на прямой дана последовательность отрезков M0N0, M1N11 M2N21 ... (черт. 88), обладающая следующими свойствами:
-—Н^-^;-к:—^-—
Черт. 88
1) эта последовательность бесконечна;
2) все точки любого отрезка MkNk принадлежат предыдущему отрезку Mk-1Nk_1,
3) не существует отрезка XY1 общего для всех отрезков данной последовательности.
Будем говорить в таком случае, что нам дана бесконечно убывающая последовательность вложенных отрезков.
Аксиома (аксиома Кантора). Если дана бесконечно убывающая последовательность вложенных отрезков, то существует точка, общая для всех отрезков данной последовательности.
Легко видеть, что точка, о которой говорится в аксиоме, единственная. Действительно, если бы существовали две такие общие точки X и Y, то существовал бы отрезок XY, общий для всех отрезков указанной последовательности, что не имеет места.
Теорема. Для любого положительного числа а существует точка на арифметизированном луче, которой это число соответствует.
Если а — конечная десятичная дробь, то такой точкой будет, очевидно, одна из меток на луче.
Пусть а — бесконечная десятичная дробь:
a = a, P1P2 ... pt...
97
Рассмотрим последовательности приближенных значений а с недостатком и с избытком:
а- = а, а + = а + 1, а - = а, рь а+ = а, (рх + 1), а- = а, P1 р2, а+ = а, P1 (р2 + 1),
а 7 = a, PiP2 P*, а+ = а, P1 р2 ... р^_х (р, + 1).
Этим числам последовательности соответствуют последовательности меток на арифметизированном луче (черт. 88):
M0[O-), M1 (aY)9 M2(а"),...
и
N0(a+), N1(Uf), N2(а +),...
Всякая точка M1 на луче будет правее предшествующей точки M1^1. Точка N1 будет правее точки M1 и левее предшествующей точки Nt-V Отсюда следует, что последовательность отрезков M0JV0' M1Af1, M2N2,... является бесконечной последовательностью вложенных отрезков. Длина отрезка MtNt будет:
?(MtNt) = a+ — ay = ^7.
При неограниченном возрастании t длина р (MtNt) может стать как угодно малой. Поэтому не существует отрезка XY, общего для всех отрезков данной последовательности, так как иначе всегда было бы
P(MtN()>P(XY),
что в силу сказанного выше невозможно.
Так как рассматриваемая последовательность удовлетворяет аксиоме Кантора, то существует единственная точка X, общая для всех отрезков MtNt. Пусть этой точке соответствует число х. Тогда ay <х < а + при любом t, т. е. все
приближенные значения по недостатку и избытку числа a являются таковыми же и для числа х. Ссылаясь на сведения из теории действительного числа, можно утверждать, что X = а. Теорема доказана.
98
Таким образом, взаимно однозначное соответствие между точками арифметизированного луча и множеством действительных неотрицательных чисел установлено.
Отсюда мы можем сделать вывод, что каково бы ни было действительное положительное число а, существует отрезок, длина которого при данной єдиний^ измерения равна этому числу.
§ 34. Пропорциональные отрезки
Отрезки AB и CD называются пропорциональными соответствующим отрезкам KL и MN, если отношение первых двух отрезков равно отношению двух других отрезков:
AB KL CD ~ MN
В соответствии с определением отношения отрезков в этом равенстве под AB, CD и т. д. мы должны понимать не сами отрезки, а их длины. Поэтому по существу здесь мы имеем обыкновенную числовую пропорцию:
9(AB) P(KL) P (CD) р (MN)
В силу этого мы можем применять для данной пропорции все известные нам свойства числовой пропорции.
Теорема. Две параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, считая эти отрезки от вершины до параллельных.
Доказательство. Пусть AB и CD — данные параллельные прямые, а А, В, С и D — точки пересечения их са сторонами данного угла О. Расположение точек указано на чертеже (черт. 89). Нам надо доказать, что
OA OB ОС ~ US'
Так как (§ 32):
О? = Рос (0A) и w = poo (OB),
Черт. 89
99
то теорема будет доказана, если установим справедливость равенства:
