Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
точками O1 M и N и пусть о м п точкам M и N соответству-
*-1-1- ют числа аир.
Черт. 86 Тогда р (АС) = р, р (AB) =
= а и по доказанному р (ВС) =р —а. Так как ? = a+ (P — а), то р (АС) = = 9(АВ) + 9(ВС).
Таким образом, условие 2 также выполнено. Этим доказано, что нами установлена система измерения отрезков при помощи арифметизированного луча.
92
Покажем, что если мы установим измерение отрезков каким-либо другим способом, при той же единице измерения ?, то для каждого отрезка получим ту же длину.
Отметим предварительно следующее очевидное следствие из условия 2: если отрезок представляет сумму нескольких отрезков, то его длина равна сумме длин слагаемых отрезков.
Каков бы ни был способ измерения отрезков, р (E) = 1 (условие 3). Если разобьем отрезок E на п равных частей, то длины этих частей будут равны между собой (условие 1), а сумма длин их равна длине отрезка E (условие 2). Пусть х — длина одной части. Тогда сумма их длин равна пх.
Отсюда: пх = і; х = —.
Если в отрезке AB отрезок Et укладывается а раз, то р (AB)
— а' ПРИ РассмотРенном нами способе
измерения отрезков длина отрезка AB равна тому же числу. Следовательно, при любом способе измерения отрезков длина отрезка арифметизированного луча от начала до какой-либо метки M равна конечной десятичной дроби, соответствующей этой метке. Длина любого отрезка OM арифметизированного луча заключена между числами, соответствующими двум меткам, расположенным по разные стороны от точки М. Поэтому при любом способе измерения длина отрезка OM равна числу а, которое соответствует точке M на арифметизированном луче.
Отсюда следует, что при любом способе измерения мы получаем при данной единице измерения E для каждого отрезка одну и ту же длину.
Рассмотрим отрезок AB, соизмеримый с единицей измерения Е. Пусть — отрезка E укладывается в отрезке AB
Итак,
Отсюда
т раз:
AB = т . —.
п
93
Так как
о(4) = т. ™ кяя)-«.?(4-)-^
Пусть при измерении с помощью арифметизированного луча мы получим, что р (AB) = а. Так как в обоих слу-
т
чаях мы должны получить одну и ту же длину, то а =—.
Следовательно, числу а на луче будет соответствовать или конечная десятичная дробь, или бесконечная периодическая дробь.
§ 32. Переход от одной единицы измерения к другой. Отношение отрезков
Длина отрезка зависит от единицы измерения. Решим теперь вопрос, как перейти от одной единицы измерения к другой. Положим, мы нашли длину отрезка AB при единице измерения Е. Какова будет длина его при новой единице измерения ?"? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Длина отрезка AB при единице измерения E' равна длине этого отрезка при единице измерения Е, умноженной на длину отрезка E при единице измерения E', т. е.
9в.(АВ) =9е (AB)-9е, (E).
Обозначим:
Ре (AB) = а; р?, (AB) = Ъ\ р?, (E) = е.
Нам надо доказать, что Ь = ае.
Возьмем Et = Отрезок E разделен на 10' равных
частей. Длины этих частей равны между собой и в сумме дают длину всего отрезка Е. Следовательно,
рБ, (?)=10<Рв,(?,),
ИЛИ
1 е
Pe' (Et) = W Pe' (?) = W
Рассмотрим сначала случай, когда число а выражается конечной десятичной дробью:
а = п, P1P2 ... pt.
94
Тогда Отсюда:
AB = (а - 100 Ef 9е, (AB) = (а- Ю0р?,(?,),
или
b = (а • 100 • JqT = ае-
Пусть теперь число а выражается бесконечной десятичной дробью:
u = h1P1P2... pt...
Рассмотрим приближенные значения а:
а у = Ti1 P1 р2 ... pt (с недостатком)
и
a+ = Tt1 P1 р2 ... Pt^ і (pt + 1) (с избытком).
На арифметизированном луче (при единице измерения E) числам a, a j и а + соответствуют точки M1 M- и M + (черт. 87). При этом точку M
мы получим, откладывая от- 0 м0' л
резок AB на арифметизиро- 9 м
ванном луче от начала Черт. 87
О (ОМ = AB)1 M- и M +
явятся метками с координатами a j и а + на этом луче.
Так как точке M соответствует число а, то она будет находиться между точек М~ и M +. Имеем:
ом-<ом<ом + ,
РЕ(ОМ~) =ayt P15(OM)=Pz(AB)=Ci1 р?(ОМ+)=а+
Так как большему отрезку соответствует большая длина при одной и той же единице измерения, то при единице измерения E' получим:
р?,(ОМ:-)< рЕ, (ОМ) < р?, (ОМ+). В соответствии с рассмотренным выше случаем получаем: a j е < Ь < а + е.
Так как эти неравенства имеют место при любом числе десятичных знаков t для приближенных значений числа а, то
b = ае.
95
Рассмотрим два отрезка AB и CD. Пусть они измерены сначала при единице измерения Е, а потом при единице измерения E'. Тогда
9в. (AB)= ?Е (AB) ?Е, (E), Ре, (CD) = 9е (CD) 9е, (E).
Отсюда:
p e' (ав) ?е (ав)
?Er (CD) - ?Е (CD) •
Мы приходим к важному выводу: отношение длин двух отрезков не зависит от выбора единицы измерения.
Отношением отрезков называется отношение их длин. Отношение отрезка AB к отрезку CD записывается так: AB CD'
По определению:
AS 9Е (AB) CD — 9е (CDY
Совершенно очевидно, что отношение отрезков не зависит от единицы измерения.
