Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
2. Равные фигуры подобны (так как движение есть частный случай преобразования подобия).
3. Гомотетичные фигуры подобны (так как гомотетия есть частный случай преобразования подобия).
4. Если F2 со F1 и F3 сп F21 то F3 со F1 (так как произведение подобий есть подобие).
5. В подобных фигурах соответственные отрезки пропорциональны, а соответственные углы равны (так как указанным свойством обладают гомотетичные фигуры, а при движении сохраняется равенство соответственных отрезков и углов).
6. Фигуры F1 и F2 подобны, если существует третья фигура F3, гомотетичная одной из них и равная другой.
(ЕСЛИ Существует ГОМОТеТИЯ ср, при КОТОРОЙ /7s = Cp (F1) и
движение /, при котором F2 = f (Fз), то преобразование / ср отображает F1 в F2).
118
Теорема. Если между точками двух плоских фигур F1 и F2 можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором отношение отрезка, соединяющего какие-либо две точки фигуры F2, к отрезку, соединяющему соответственные им точки фигуры F1, имеет одно и то же значение для всех точек данных фигур, то F2 сп F1.
Обозначим это постоянное отношение через k. По условию M2N2 ,
где M2 и N2 — произвольные точки фигуры F2, a Al1 и N1 — соответственные им точки фигуры F1.
Рассмотрим сначала случай, когда k = 1, т. е. когда все соответственные отрезки равны, и докажем, что фигуры F1 и F2 при этом условии будут равны.
При доказательстве будем опираться на следующее очевидное предложение: три окружности, центры которых не лежат на одной прямой, могут иметь только одну общую точку (если бы три окружности имели две общие точки А и В, то их центры принадлежали бы геометрическому месту точек, равноудаленных от точек А и В, т. е. прямой).
Черт. 109
Пусть A1, B1 и C1 — три точки фигуры F1, не лежащие на одной прямой, a A2, B2 и C2 — соответственные им точки фигуры F2 (черт. 109). Возьмем произвольную точку M1 фигуры F1, ей будет соответствовать точка M2 фигуры F2. По условию все отрезки, соединяющие точки A1, B1, C1 и M1 первой фигуры, равны отрезкам, соединяющим соответствующие им точки A2, B2, C2 и M2 второй фигуры. Так как Д A1 B1 C1 = A A2 B2 C2, то существует движение /, отображающее первый треугольник во второй. При этом движении окружцости, имеющие центры в точках A1, B1, C1 и проходящие через точку M1, отобразятся в равные им окружности с центрами в точках A2, B2, C2. Эти последние три окружности пересекутся в точке M2. Так как
119
центры этих окружностей не лежат на одной прямой, то они могут иметь только одну общую точку. Поэтому при движении / точка M1 отобразится в точку M2. Итак, при движении / все точки фигуры F1 отобразятся в соответствующие им точки фигуры F2. Следовательно, F2 = F1.
Пусть теперь k ф \. Зададим гомотетию ср с произвольным центром и с коэффициентом k. Фигура F1 отобразится в фигуру F\, а произвольные точки ее M1 и N1 — в точки М\ и N\, причем
M\N\ M1N1
Отсюда следует, что M2TV2 = M\N\.
Между точками фигур F\ и F21 очевидно, можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором точкам М\ и AT1 соответствуют точки M2 и Af2. По доказанному существует движение /, отображающее фигуру F\ в фигуру F2. Отсюда следует, что преобразование подобия fv отображает фигуру F1 в фигуру F2 ,т. е. F2 со F1.
Теорема. Два одноименных многоугольника подобны, если между их вершинами можно установить соответствие, при котором сходственные стороны этих многоугольников будут пропорциональны, а соответственные углы равны.
Пусть даны такие многоугольники A1 B1 C1 D1 E1 и
A2 B2 C2 D2 E2 (черт. 110), причем JJjJj = gg- = ... =
" E1A1 - *' ^B1 = B2, ^1E1 = E2.
Возьмем гомотетию с центром в вершине A1 и коэффициентом k. Эта гомотетия отобразит многоугольник A1B1C1D1E1 в многоугольник A1 В\ C1 D\ Е\, который, как легко видеть, равен многоугольнику A2B2C2D2E2 (вследствие равенства соответственных сторон и углов). В силу свойства 6 данные многоугольники подобны.
Доказательства признаков подобия треугольников прово-
¦A1 =
120
дятся по тому же плану: строится третий треугольник, равный одному из них и гомотетичный другому. Доказательство этих признаков и теоремы, вытекающие из них, будем считать известными из школьного курса.
Гомотетия не меняет ориентации углов на плоскости (§ 35). Следовательно, преобразование подобия / ср не меняет ориентацию углов на плоскости, если / — движение первого рода, и меняет ориентацию углов на противоположную, если / — движение второго рода (§ 27).
В соответствии с этим мы можем говорить о подобии фигур первого рода и второго рода.
§ 41. Метод подобия
В подобных фигурах соответственные углы и отношения соответственных отрезков равны между собой. Положим, что нам требуется построить некоторую фигуру по данным углам и отношениям отрезков, связанных с этой фигурой. Пусть такая фигура F построена. Тогда всякая фигура F', подобная фигуре F9 будет также отвечать условиям задачи. Мы скажем, что фигура F является искомой с точностью до подобия.
Пусть искомая фигура определена условиями оъ а2, оп. Может оказаться возможным построить фигуру F1 подобную искомой, по условиям а2, OLn. Тогда из совокупности фигур, подобных F9 мы должны выбрать фигуру F09 удовлетворяющую условию о.г. Решение задачи разбилось на два этапа: сначала по условиям а2, оп мы строим фигуру F9 являющуюся искомой с точностью до подобия, затем строим фигуру F09 подобную F и удовлетворяющую условию O1.
