Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Шоластер Н.Н. -> "Элементарная геометрия" -> 36

Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.

Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия. Под редакцией Иваницкой В.П. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): egnnsholaster1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 79 >> Следующая


1. &! > О, U2 > 0, k = k2 kx > 0. По доказанной теореме центр S13 гомотетии ср и центры S12 и S23 гомотетий Cp1 и ср2 лежат на одной прямой.

2. kx > 0, k2 < 0, k < 0. Центрами гомотетий ср, Cp1 и ср2 явятся теперь точки J13, S12 и J23, которые по доказанному лежат на одной прямой.

3. Iz1 < 0, k2 > 0, k < 0. Теперь центрами указанных гомотетий являются точки J13, J12 и S23.

4. kx < 0, k2 < 0, k > 0. Центрами гомотетий в этом случае будут точки S13, J12 и J23.

§ 39. Преобразование подобия на плоскости

Преобразованием подобия назовем произведение гомотетии на движение.

Пусть ср — гомотетия с центром S и коэффициентом k, f — движение. Преобразование ф = / ср мы назвали

Черт. 107

115

преобразованием подобия. Возможны следующие частные случаи:

1. ср = / = /0 — тождественное преобразование. В этом случае ф является тоже тождественным преобразованием.

2- T = /о — тождественное движение. Тогда <Ь = Д т. е. движение является частным случаем преобразования подобия.

3. / = /0 — тождественное движение. Тогда ф =ср, т. е. гомотетия является тоже частным случаем преобразования подобия.

Теорема. Произведение движения на гомотетию есть преобразование подобия.

Мы должны доказать, что преобразование ср / является преобразованием подобия. Рассмотрим для этого некоторую фигуру F (черт. 108). Движение / отображает ее в равную

A3 Л

Черт. 108

ей фигуру F1, а гомотетия ср отображает F1 в некоторую фигуру F2.

Рассмотрим движение обратное движению /. При этом движении F1 отобразится в F, точка S — в точку S', а фигура F2 — в фигуру F3. Очевидно, что фигура F3 гомотетична фигуреF относительно центраS', так как фигура Ф, являющаяся соединением фигур F1, F2 и точки S, равна фигуре Ф', которая представляет соединение фигур F, Fz и точки S'. Обозначим гомотетию, отображающую F в F3, через ср'. Коэффициент гомотетии ср' будет равен коэффициенту гомотетии ср. Рассмотрим теперь преобразование подобия / ср'. При этом преобразовании фигура F отобразится сначала в фигуру F3, а затем фигура Рз в фигуру F2. В результате фигура F отобразится в ту же фигуру F2, что и при преобразовании ср/. Итак,

<р/ = /<р\ что и требовалось установить.

116

Следствие. Произведение гомотетии ср' с центром S' на движение f (т. е. преобразование /ср') можно представить как произведение этого же движения на гомотетию ср с тем же коэффициентом и центром в точке S, в которую отображается S' при данном движении (преобразование ср /).

В дальнейшем мы будем рассматривать произведение нескольких гомотетий и движений. Повторяя почти буквально рассуждения, приведенные в § 19 при доказательстве теоремы о свойстве сочетательности произведения движений, мы установим, что произведение нескольких гомотетий и движений тоже обладает свойством сочетательности. Этим мы воспользуемся в последующих рассуждениях.

Теорема. Произведение двух преобразований подобия есть преобразование подобия.

Пусть даны два преобразования подобия: = Д Cp1 и

= /2 ср2. Рассмотрим их произведение:

Ф2Ф1 = (/2 T2)(ZiTi)-

По предыдущей теореме:

ф2 = Z2 T2 = Т'2 Z2-Пользуясь свойством сочетательности произведения движений и гомотетий, получим:

Ь Фі = (т'2 Z2)(Zi Ti) = Т'2 (Z2 Zi) Ti-Произведение движений /2 Z1 есть некоторое движение /. Так как Zti = t'i Z> то» далее, получим:

ф2 Фі = т'2 (Z Ti) = т'2 (t'i Z) = (т'2 T'i) Z-Как показано в § 38, произведение гомотетий ср2' <р'д есть или гомотетия, или движение. Следовательно, ф2 равно или произведению гомотетии на движение, или двух движений. И в том и в другом случае это будет преобразование подобия. Теорема доказана.

Пусть дано преобразование подобия ф = / ср. Рассмотрим другое преобразование подобия ф-1= Cp-1Z-1h найдем их произведение:

ф-1 ^ = (T-1Z- 1KZт) ^t-MZ-1Z)т ^t-1ZoT =

= T ~ 1 T = Zo»

где /0 — тождественное преобразование. Легко убедиться также, что

п -1 = Zo,

т. е. 6 и б-1 являются преобразованиями, обратными друг другу.

117

Рассмотрим множество всех преобразований подобия на плоскости. В это множество входят:

1) произведение двух любых преобразований данного множества;

2) тождественное преобразование f0;

3) преобразование ф-\ обратное произвольному преобразованию данного множества.

Кроме того, произведение преобразований подобия обладает евойством сочетательности.

В соответствии с общим определением группы мы можем сказать, что множество всех преобразований подобия на плоскости образует группу (группа подобий). Так как движения на плоскости являются частным случаем преобразования подобия, то группа всех движений на плоскости является подгруппой группы подобия.

§ 40. Подобие фигур на плоскости

Фигура F' называется подобной фигуре F1 если существует преобразование подобия, отображающее фигуру F в фигуру F'. Подобие фигур обозначается знаком «oq». Следовательно, если существует преобразование подобия ф, при котором F' = ф (F)1 то F' со F.

Подобие фигур обладает следующими свойствами:

1. Если F' со F1 то F со F' (что следует из существования преобразования подобия ф-1, обратного ф).
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed