Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
= 0.
Именно это уравнение и определяет гамильтоновы фокусы.
Это означает, что точка х, у, описывающая траекторию (Т), и точка я+6> */+Ч> описывающая бесконечно близкую траекторию (Т'), разделены в два различных момента времени, а именно, в моменты ?' и ?", бесконечно малым расстоянием высшего порядка.
Но это не те условия, которые должны выполняться для фокусов по Моперпои. Две точки траектории (Т), а именно, две точки М' и М", соответствующие моментам V и должны находиться на бесконечно малом расстоянии высшего порядка от траектории (Т').
Однако необязательно, чтобы подвижная точка, пробегающая (Т'), проходила точно в момент 7", например, бесконечно близко от М". Зато постоянная живых сил должна иметь одно и то же значение для (?’) и [Т')\ это последнее условие не налагается на гамильтоновы фокусы. Одно из решений уравнений в вариациях есть
5 = /Н*)> 71 = /Последовательно, мы можем предположить
е;=/н*'). ч;=/;(*'). %=глп, ъ=жп-
238
Новые методы небесной механики. III
Таким образом, определены две функции и
С другой стороны, разность между постоянной живых сил для (Г) и постоянной живых сил для (Т') бесконечно мала; очевидно, она является линейной функцией четырех бесконечно малых постоянных а1г а2, аз, я4.
Не ограничивая общности, мы можем предположить, что эта разность в точности равна а4.
Тогда условием того, чтобы значение постоянной живых сил было одним и тем же для (Т) и (Т'), будет а4=0 или же
Теперь при функции ? и т] должны быть нулями, откуда вытекают уравнения
С другой стороны, значения а;+?, !/+*! при /=*'' + е должны быть теми же (с точностью до бесконечно малых высшего порядка), что и значения х и. у при ?=?", что записывается в виде
^ ®3^3>
Т) = а1711 + а2ї]2 + а3-ц3.
+ ^2 + а?з —- 0> "1“ ^2^2 азЪ ==
(є -(- а4) ?! + а2Ъ2 + а3?з — 0« (е + ах) ті" + а2і]2 + а3т)'' = 0,
откуда исключением находим
(2)
6ІЇ1І — &1І 61^ — 617)1
*•// п ип ГГ ГТ *•// гг
Ма — Ъз-Ц» Єі^з бз^і
^ІІЗ — ІІ^З
приводим уравнение (2) к виду
Ці') = ЦП-
(3)
Различные формы принципа наименьшего действия
239
Приложение к периодическим решениям
346. Если мы имеем дело с периодическим решением с периодом 2 ГС, функции /х (?) и /2 (г) из предыдущего параграфа будут периодическими с периодом 2гс; то же будет и для
^ = /1(0. Ъ = Ми-
кроме того, уравнения в вариациях согласно главе IV будут допускать другие частные решения, имеющие вид
6 = ^(0. -Ч = ^'ф»(0;
? = Т) = е-в<фз (0;
? — ?4 (0 + Р^А (0> "Ч — Ф4 (0 + Р^/а (0-
В этих уравнениях (3 — постоянная, а и —а — характеристические показатели, (риф — периодические функции.
Пусть
Р(х’ У’ 2?- ш) = С0П31
— уравнение живых сил; мы должны будем иметь
^ ар а^ ар <!?<)_ .
ах ' ау~^ ' ах аь ау аь ’
ааГ лаГ
где А — постоянная. Если в этом уравнении заменим ? и т; па ея<ф.,, то левая часть станет периодической функцией от t, умноженной на е , а так как она должна быть постоянной, то необходимо, чтобы она была нулем.
Следовательно, получим
4 = 0.
Это означает, что две бесконечно близкие траектории, уравнения которых суть
* = /1(0. У=/? (0
* = Л (0 + е*<ря (*). у = А (*) + е“'Ф2 (о,
соответствуют одному и тому же значению постоянной живых сил.
То же самое можно было бы показать для траектории, уравнение которой есть
X = А (*) + е""Ч (*)> У = и (0 + «"?'Фз (*)?
Различные формы принципа наименьшего действия
239
Приложение к периодическим решениям
346. Если мы имеем дело с периодическим решением с периодом 2тг, функции (?) и /2 (<) из предыдущего параграфа будут периодическими с периодом 2гс; то же будет и для
61 =/НО. 711 = /П0-
Кроме того, уравнения в вариациях согласно главе IV будут допускать другие частные решения, имеющие вид
Е = (0. ч = (0;
^ (0 + (0. Ч = 4*1 (0 + Р^/а (0-
В этих уравнениях [3 — постоянная, а и —а — характеристические показатели, (р и ф — периодические функции.
Пусть
р(х’ У• зг- згН001131
— уравнение живых сил; мы должны будем иметь
ч ' <1х <и ‘ <1у <а ’
а 1Г ааГ
где Л — постоянная. Если в этом уравнении заменим ? и т\ па е**<р2, е“*ф2, то левая часть станет периодической функцией от умноженной на е , а так как она должна быть постоянной, то необходимо, чтобы она была нулем.
Следовательно, получим
А = 0.
Это означает, что две бесконечно близкие траектории, уравнения которых суть
*=Л(0. у = и{ 0
х=/1 (0 + ев,<Р2 (0. у = /2 (0 + е“'ф2 (0.
соответствуют одному и тому же значению постоянной живых сил.
То же самое можно было бы показать для траектории, уравнение которой есть
х = и (<) + е~°‘?з (*)> У = и (0 + е~*Фз (*)?
Различные формы принципа наименьшего действия
241
мы знаем—это то, что G (t) — периодическая функция, а отсюда просто вытекает, что
log G (О
увеличивается на кратное 2in, например на 2кЫ, когда t увеличивается на 2 тт. Тогда разность
log G (t) •— tkt
является периодической функцией.
Положим в таком случае
G' (t) = G{t)e-iki,
I I
«' = « + т;
получим
С (t) = e*‘G (t) = e*'‘Gr(t).
Мы положим тогда не
а
x^i + ^log G'(t);
так как log G' (t) будет периодической функцией, предыдущие выводы сохраняются, уравнение (3) запишется в виде
