Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что форма, аналогичная той, которую я при анализе п. 331 назвал 1/0, однородпа и имеет только третью степень относительно хх и х2.
Уравнение
ЛТТ Л ТТ ЛТТ
О (1)
dUndUi dU0dU1
dx1 dx.l dx2 dx1
всегда допускает, как мы это видели, вещественные корни.
Теорема здесь, впрочем, очевидна, поскольку это уравнение третьей степени относительно хДх2. Оно может иметь один или три вещественных корня; предположим сначала для определенности, что оно имеет только один корень.
Тогда, если мы положим
хх = агр cos tp -(- ijp sin <p,
x2 = a2p cos <p + b2p sin ep,
выбирая здесь коэффициенты а и Ъ таким образом, чтобы иг сводилась
и0
к —р2, то отношение
Периодические решения второго рода
219
рассмотренное в п. 331, будет допускать только один максимум и один минимум, когда ср будет изменяться от 0 до 2тг; эти максимум и минимум, притом равные и противоположные по знаку, будут соответствовать значениям ср, отстоящим друг от друга на тс.
Тогда мы получим
?/0 +2?/1 = р3/(!р) — 2Р2-
Функция / (ср) имеет максимум и минимум, равные и противоположные но знаку, тогда функция ио-\-г1/1 имеет:
при г >0 максимум нри р=0 и два минимакса [16|; при и <0 минимум при р=0 и два максимума.
По примеру англичан я называю минимаксом точку, в которой первые производные обращаются в нуль и нет ни максимума, ни минимума.
Функция V будет вести себя таким же образом, поскольку если г очень мало, влияют только члены ио-\-ги1.
Следовательно, каково бы ни было г, дифференциальные уравнения будут допускать:
решение с периодом Т, первого рода, устойчивое;
решение с периодом рТ, второго рода, устойчивое при г < 0 и неустойчивое при г > 0.
Предположим теперь, что уравнение (1) имеет три вещественных корня.
Функция / (<р) будет иметь три максимума и три минимума, попарно равные и противоположные по зпаку.
В этом случае ио-^-ги1 и, следовательно У, имеет: при г ]> 0 максимум при р=0 и шесть минимаксов; при г < 0 минимум при р = 0 и шесть максимумов.
Таким образом, каково бы ни было г, дифференциальные уравнения будут допускать:
решение с периодом Т, первого рода, устойчивое; три решения с периодом рТ, второго рода.
Дальше мы увидим, что с определенной точки зрения не все эти решения являются различными.
Перейдем к немного более сложному случаю и предположим, что иа — четвертой степени.
В этом случае уравнение (1) четвертой степени, а так как оно всегда имеет, согласно н. 331, но крайней мере два вещественных корня, то оно будет их иметь два или четыре. Тогда мы будем иметь уже не
/ (?) = —/(? +7С).
/(?) = /(? + *)•
Предположим сначала, что имеется только два вещественных корня. Тогда функция / (ср) будет иметь один максимум и один минимум, когда ср меняется от 0 до тс и столько же, когда ср меняется от тс до 2 тс.
220
Новые методы небесной механики. III
Необходимо различать три случая в зависимости от знаков этих максимума и минимума.
Первый случай. Максимум и минимум положительны.
Функции ио-\-гих и У имеют:
при г ]> 0 максимум при р=0, два минимума и два минимакса; при г <С 0 минимум при р=0.
Дифференциальные уравнения допускают, кроме решения первого рода, которое существует всегда, два решения второго рода при г 0 и пе допускают ни одного решения при ъ <С 0; из этих двух решений одно устойчивое и одно неустойчивое.
Второй случай. Максимум положителен, а минимум отрицателен.
Функции С/о+гС^! и У имеют:
при ъ > 0 максимум при р=0, два минимакса;
при г <С 0 минимум при р=0, два минимакса.
Дифференциальные уравнения всегда допускают, кроме решения первого рода, которое устойчиво, неустойчивое решение второго рода. Третий случай. Сам максимум отрицателен.
Тогда дифференциальные уравнения имеют: при г >• 0 устойчивое решение первого рода;
при г <С 0 устойчивое решение первого рода и два решения второго рода, из которых одно устойчиво, другое — неустойчиво.
Остается изучить случай, когда уравнение (1) имеет четыре вещественных корня.
Тогда уравнения допускают:
при г >• 0 устойчивое решение первого рода, к неустойчивых решений второго рода, к устойчивых решений второго рода;
при г < 0 устойчивое решение первого рода, 2—к устойчивых решений второго рода, 2—к неустойчивых решений второго рода.
В зависимости от знаков максимумов и минимумов функции / (<р), целые числа к ж к могут принимать следующие значения:
к=к=2; к=2, к=1; к=2, к=0; Л=1, к=0; к=к=0; к=к=1.
Глава XXIX
РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
336. Пусть
х^, х%, . • хи,
У\< • • •! У„
двойной ряд переменных я Р — какая-нибудь функция этих переменных. Рассмотрим интеграл
Чтобы эта вариация была равна нулю, необходимо сначала, чтобы было
что дает нам канонические уравнения, но это условие не является достаточным. Если оно выполнено, то
и необходимо еще, чтобы правая часть этого равенства была нулем. Это как раз имеет место, если предположить, что 8а:,. обращаются в нуль при обоих пределах, т. е. что начальные и конечные значения х1 заданы. В этих условиях интеграл /, называемый действием, есть минимум.
Заменим переменные; пусть х\, у\ — новые переменные, и вообразим, что они выбраны таким образом, чтобы выражение
