Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 63

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 111 >> Следующая

Я назвал ?9 и т]° значения ?, и которые соответствуют периодическому решению с периодом Т\ соответствующие значения Х;+?,. и Yj+Tjj будут 2?J и 2-if>.-\r2mimp-K (если в периодическом решении с периодом Т переменная у. меняется на yf+2m,.i: в соответствии с предположениями п. 322).
Пусть S0 — соответствующее значение S ; положим
Р. = р0 + р/; v = smp - s0„; xt + с,. = 26; + б;.,
Y* + Ъ = 2т1? + Zm.mpTz + т];
и будем считать V функцией р' и величин 6' и tj'; функция V будет находиться в тех же самых условиях, что и функция V предыдущего пункта.
Действительно, каково бы ни было р', функция V и ее первые производные по 6' и т]' обращаются в нуль, когда
&; = 7j; о.
Если рассмотреть совокупность членов V второй степени относительно величин 6' и т]' и считать эту совокупность квадратичной формой, состоящей из суммы квадратов, то мы увидим, что два из коэффициентов при этих квадратах переходят от отрицательных значений к положительным или от положительных значений к отрицательным, когда р' изменяет знак, и что другие коэффициенты не обращаются в нуль.
Действительно, выражение
меняет знак, а другие выражения
М,. . рта,.Т
-тД= S1I1 -д/—1 V'—1
не обращаются в нуль. Коэффициент, который в п. 323 я назвал Б, также не обращается в нуль и притом других коэффициентов нет, так как мы имеем только 2п—1 переменных — переменные (Р).
216
Новые методы небесной механики. III
Таким образом, мы находимся в условиях предыдущего пункта и можем утверждать, что уравнения
— и
допускают вещественные решения, отличные от решения ?<= *]; = 0, или, что то же, что уравнения
^$тр _______________ ^ ^
Л (Х{ + ?,) Л (У< + Т),)
допускают вещественные решения, отличные от решении, соответствующих периодическому решению с периодом Т.
Но максимумы функции Б или вообще решения уравнений (1) соответствуют периодическим решениям с периодом трТ.
Таким образом, мы должны заключить, что наши дифференциальные уравнения допускают периодические решения с периодом трТ, отличпые от решения с периодом Т, сливающиеся с этим решением при 11 = [±0 и очень мало отличающиеся от него при близком к ц0.
Если мы обратим внимание на предыдущее рассуждение, то увидим, что не требуется, чтобы периодическое решение с периодом Т соответствовало максимуму Зтр.
Итак, мы сможем предположить, что т — 1.
Не требуется даже, чтобы решение с периодом Т было устойчивым; достаточно, чтобы один из характеристических показателей а.г при ^=р0 был равен
2кт.

Таким образом, мы приходим к следующему результату.
Если уравнения динамики допускают такое периодическое решение с периодом Т, что один из характеристических показателей близок к
2к-рГ ’
то они будут также допускать периодические решения с периодом рТ, мало отличающиеся от решения с периодом Т и сливающиеся с ним, когда характеристический показатель становится равным

_Р? *
Это решения второго рода [1Ь].
Периодические решения второго рода
217
Замечание
334. При всех этих рассуждениях предполагают, что ? — однозначная функция от Х,+ ?(, Только благодаря этому условию
можно утверждать, что все максимумы ?тр соответствуют периодическому решению (см. п. 321). Это обстоятельство, на которое следует обратить самое серьезное внимание, представляет препятствие, с которым мы часто встречаемся, когда хотим вывести следствия из теоремы п. 321.
Проверим, действительно ли ? является однозначной функцией от этих переменных. Мы можем нредноложить, что т=1 согласно тому, что мы только что видели. С другой стороны, ? , очевидно, является однозначной функцией от величин Е, и т;,; она будет также однозначной функцией от Х(-\- ?( и У, + \, если только функциональный определитель величин и У(~гг,. относительно Е, и 1). не обращается в нуль в рас-
сматриваемой области; так как эта область сводится к близкой окрестности значений
[I = р.0, ^ = ?», 71, = Т]»,
то достаточно, чтобы функциональный определитель не был равен нулю в этой точке. Этот функциональный определитель записывается в виде (для определенности предполагается, что п=2)
Ні+1 ах, ах1 ахг
^2 <*7|2
йУ, АУЛ А *Уг 2 и.
Аі]2
ЛХ2 <1Х2 лх2 | л ^2 + ІХ2
а% і ГЇГ}! Аі] 2
АУ2 *У2 1Г-+ 1 Ач] 2

Таким образом, необходимо проверить, что ?-уравнение
ах] о ах і аХі
И Ач]і а т]9
Ні АУ, с ЛУ, ау і
<*52 аті2
ахч *Х2 ах 2 „ ах2
И СІТ), «2 *І2
ау2 *У2 ау2 <іУ.г
Лі\\ <ІІ2 ац2
— ?
= 0
не имеет корня, равного —1.
Корни этого уравнения, согласно п. 60, равны
218
Новые методы небесной механики. III
где а — характеристические показатели; следовательно, необходимо проверить, что не имеет места равенство
_(2к 4-я — РГ
где к — целое, но показатель а1 равен по предположению
2Й7С
~рТ ’
где к — целое, а другие показатели, вообще говоря, несоизмеримы с к \/—1/Т.
Итак, трудности, которая нас интересует, не представится.
Для того чтобы избежать ее, я и предположил в п. 330, что
2кп\/—1 ,, .
(к— целое),
1 РТ
а не
кп }/—1
РТ
(,к— целое).
Частные случаи
335. Скажем несколько слов о наиболее простых случаях; предположим, что имеются только две степени свободы.
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed