Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
ггт 2 • 2л
величины к и к означают результат замены ? в функции к на и на Ь".
Если моменты <' и удовлетворяют уравнению Л=0, мы скажем, что это два сопряженных момента и что две точки М' и М” пространства п измерений, имеющие координатами соответственно
?!(*'). ?„(*')>
<?ЛП
суть две сопряженные точки.
Если, кроме ТОГО, г" — тот из моментов, сопряженных с который следует за ?' и является самым близким к V, мы скажем, что М" является фокусом точки М'.
Теперь мы можем сформулировать условие (В): оно состоит в требовании, чтобы между ?0 и ^ не лежало ни одного момента, сопряженного с t0.
Чтобы ] было минимумом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (Л) и (В).
Отсюда можно вывести одно непосредственное следствие.
Пусть ?0, *3 — четыре момента.
Пусть М0, Ми Мг, М3 — соответствующие точки кривой *1 = ?! (О, г2 = ср2(г), хя = сря(0-
Предположим, что М1 — фокус М0, а М3 — фокус М2.
Если условие (А) выполнено, то может быть
^0 ^ Ч ^ ^2 ^ ^3>
234
Новые методы небесной механики. III
или
или
^2 ^ ^3 ^ ^0 ^ ^1-
Но неравенства
^0 ^ ^2 ^ ^3 ^ ^1
невозможны, иначе интеграл
<,-е
!
должен был бы быть минимумом, поскольку выполнено условие (В), а интеграл
т
не был бы минимумом, поскольку условие (В) не было бы для него выполнено.
Это невозможно, поскольку можно варьировать функции х( между и —е, не изменяя их в промежутке от !0 до 12.
Легко видеть геометрический смысл предыдущего.
Кривую в пространстве п измерений
х{ = ч>{ (г),
представляющую решение уравнений (С), можно назвать траекторией, которую я обозначу через (!').
Кривая
** = 9< + ^
представит бесконечно близкую траекторию.
Пусть через точку М' проведена одна из этих траекторий (Т'), бесконечно близких к (Т), и эта траектория снова пересекает траекторию (Т) в точке М" (точнее, расстояние М" от этой траектории будет бесконечно малой высшего порядка); точки М' и М" будут сопряженными, если, кроме того, точка, которая описывает Т', проходит через М' и бесконечно близко от М" в моменты времени I' и I”.
342. В случае принципа Гамильтона условие (А) выполнено всегда; в самом деле, имеем
Н = Н0 + Н1 + Нг
и Н2 — однородная квадратичная форма относительно х\.
Во всех задачах динамики эта квадратичная форма является положительно -определенной.
Различные формы принципа наименьшего действия
235
Если мы заменим х\ на Нг перейдет в
а Н2 заменится на
я2К) + я2(е<) + 2е^.
причем
Следовательно,
н «. + в,.) = н0 + нг + я2 + 2
откуда, наконец,
откуда, наконец,
Левая часть соответствует функции
так как квадратичная форма Н2 (є,.) положительпо-определениа, мы видим, что это выражение является минимумом при Є;—0, т. е. условие (А) выполнено.
343. Перейдем к случаю принципа Мопертюи в абсолютном движении. Тогда изучаемый интеграл записывается в виде
где йт2 — положительно-определенная квадратичная форма относительно дифференциалов йх..
Примем на мгновение х1 в качестве независимой переменной; интеграл примет вид
где (йт/йд^)2 — полином второй степени Р, неоднородный (но существенно положительный) относительно с1х{/с1х1. Итак, пусть
Речь идет о том, чтобы узнать, является ли
236
Новые методы небесной механики. III
минимумом при е( = 0; или, другими словами, положительна ли вторая производная по г от корня
V *<&+«)?
Но каковы бы ни были йх^йх^ и є{, мы будем иметь
где а, Ь, с — независимы от вторая производная от корня тогда равна
ас — Ъ~
(аІЇ + 2Ы + с)*'1'
Так как полином Р существенно положителен, то это выражение также всегда положительно, и условие (А) выполнено всегда.
344. Перейдем к принципу Мопертюи в относительном движении. Тогда мы должны рассмотреть интеграл
^ [йя \/Н0 + Ь + «)' (?йт( —? т;й?)] или, принимая ? за независимую переменную,
( Ш0 + !г)( 1+т]'*) + ш' (?т/ - т;)].
Таким образом, необходимо исследовать вопрос о том, является ли положительной вторая производная по т\ от
\/(//0 + Л)( 1 + Г2) + <»' й' — ч);
но эта производная равна
0+1'2)% ‘
Следовательно, условие (А) выполнено всегда.
Итак, условие (И) выполнено само собой во всех случаях, которые нам предстоит изучить.
Фокусы по Мопертюи
345. Кинетические фокусы не являются совершенно одними и теми же в зависимости от того, рассматриваем ли мы гамильтоново действие или действие по Мопертюи. Чтобы лучше убедиться в этом, предположим,
Различные формы принципа наименьшего действия
237
что имеются только две степени свободы, и пусть х и у — две переменные, которые определяют положение системы и которые мы можем считать координатами точки на плоскости.
Пусть
х = fi.it), у = иИ)
уравнения траектории (Т), которая будет плоской кривой. Положим
я = /1 (0 + ?> У = fi{^)Jг'rl
и, пренебрегая квадратами ? и т|, составим уравнения в вариациях. Так как они линейны и четвертого порядка, то мы, следовательно, будем иметь
5 = -I- 0,-^2 4~ ®з*з ~Ь ^4Ы>
Т] = 4" ^2^2 4~ ®з"^3 4~ ®4Т14>
где а. — постоянные интегрирования, ?{ и т]. — функции от Тогда уравнение п. 341
Д(*', *") = °
запишется в виде
е; 63 ез б;
Ъ 'ЧЗ -^4
г; 63 63 бз
Ч" Чз Т]4
