Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 73

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 111 >> Следующая

TaK как опять будет справедливо уравнение живых сил, то будет также иметь место
х'Ь' -|- у’-ц' — х"% -f- у"т\— 2ш0. (3bis)
Положим снова
0 = ?у' — 7)а:',
тогда сохранятся уравнения (5) и (6).
С другой стороны, так как х' и у' должны удовлетворять уравнениям (2bis), мы будем иметь
*'-2к' = 4уч'+ЗЯГ»'.
Принимая во внимание эти уравнения, а также уравнения (2bis), и учитывая также уравнение (3bis), можно упростить выражение 0" и снова найти уравнение
0» — 0Д U = 2 (Vy" — т\’х') — 4со20. (7bis)
Так как тождество из предыдущего параграфа справедливо всегда, то мы снова найдем уравнения
(s'2 + У,г) (9" - 0Д) - 2 (*'*» + у'у") 0' + 2 (х"2 + у"2) О =
= —4ш2 (х'2 + у'2) — 4ш (х'у" — х!'у’) (8bis)
и
Г а Л...« д'д” 4- р'р" + Зд"2 -|- Зр''2 , 3(x'x" + y'y’')Z Х'У"-Х”У’ .
* х'2 + У’2 + (*'2 + у-2)2 (х’2 + У'2У>‘'
(9bis)
таким образом, ничего не нужно менять в выводах предыдущего параграфа.
252
Новые методы небесной механики. III
355. Однако встает новый вопрос.
Траектория (Г) является замкнутой кривой; мы пытались до сих пор определить, соответствует ли дуга АВ этой кривой действию, меньшему чем действие вдоль всякой бесконечно близкой дуги, имеющей те же концы.
Но мы должны также спросить себя, соответствует ли вся эта замкнутая кривая целиком действию, меньшему чем действие вдоль бесконечно близкой замкнутой кривой.
Предположим сначала, что точка А кривой (Г) имеет свой первый фокус В на кривой (Г), так что дуга АВ меньше, чем вся замкнутая кривая.
Это имеет место для неустойчивых решений второй категории; мы видели, что для этих решений кривая (Т) разделяется на некоторое четное число дуг и что любая точка одной из этих дуг имеет свой первый фокус на следующей дуге; таким образом, исходя из какой-нибудь точки, мы встретим ее первый фокус, прежде чем совершим полный обход кривой (Т).
Это имеет место также и для некоторых устойчивых решений.
В случае устойчивых решений мы положили (п. 347)
f + iloSG(t) = '5.
и мы видели, что значения т для точки и ее первого фокуса отличаются на in/а. Если, следовательно, a/i больше 1j.2, мы встретим фокус точки до того, как совершим полный обход (Т).
Если это так, то действие не может быть меньшим для кривой (Г), чем для всякой близкой замкнутой кривой.
Пусть, в самом деле, ABCDEA — кривая (Т), и предположим, что D — фокус С. Так как Е лежит за фокусом точки С, то мы сможем соединить С с Е дугой СМЕ, очень близкой к CDE и соответствующей меньшему действию.
Если я обозначу символом {СМЕ) действие, соответствующее дуге СМЕ, то мы будем иметь
{СМЕ) < {CDE),
и, следовательно,
{АВСМЕА) < {ABCDEA).
Рассмотрим теперь такое устойчивое решение, что
1^2-
Я говорю, что действие также не будет меньшим для (Г), чем для всякой бесконечно близкой замкнутой кривой.
На рисунке я предполагаю для определенности, что значение a/i заключено между V4 и 1/6, так что мы встречаем фокус точки, прежде
Различные формы принципа наименьшего действия
253
чем совершим три обхода и после того, как совершим два обхода (Т) (рис. 10).
Пусть АВСБА — кривая (Т); фокус Р будет находиться между Ап В, и мы попадем в него после двух обходов (Т).
Так как В находится за этим фокусом, то мы можем соединить А с В такой дугой AEH.NKH.MEB, что (АЕНИКНМЕВ) < (АВСАВСАВ).
Так как мы не встретим фокуса точки А, описывая дугу АВ, не обойдя (Г), то мы будем иметь, с другой стороны,
(АЕ+ЕВ) > {АВ),
откуда, вычитая, получим
(ЕНЫКНМЕ) < {АВСАВСА)
или
(ЕНМЕ)+(НЫКН) < 2 (АВСА).
Таким образом, мы должны иметь либо (.ЕНМЕ) < (АВСА),
либо
(.НЫКН) < (АВСА).
Во всяком случае имеется замкнутая кривая, мало отличающаяся от (Т) и соответствующая меньшему действию.
Таким образом, чтобы замкнутая кривая соответствовала действию, меньшему, чем действие вдоль всякой бесконечно близкой замкнутой кривой, необходимо, чтобы эта замкнутая кривая соответствовала неустойчивому периодическому решению первой категории.
254
Новые методы небесной механики. III
356. Является ли это условие достаточным? Чтобы узнать это, изучим асимптотические решения, соответствующие подобному неустойчивому периодическому решению.
Пусть
* = ?о(0. У = %(*)
— уравнения периодического решения, а
х = То W + (0 + -42в®в<<Ра (0 + ? • ? >
у = ф0 (t) + Ае'% (t) + Л*в«ф2 (*) + . . .
— уравнения асимптотических решений. Функции <р4 (t) и ф4 (I) будут периодическими функциями t. Мы можем также написать, полагая Аея, = и,
х = ?о (0 + (0 4- • ? ? = ф (*> “).
У =- Фо (0 + “Фх (0 + • • ? = ^ (*. и).
Если и достаточно малб, то х и у будут однозначными функциями от t и и, периодическими по I с периодом 2п.
Кроме того, функциональный определитель
') (х, у) _ d<& d4T d4T <*Ф
д (f, и) dt du dt du
не будет обращаться в нуль. В самом деле, при и—0 этот определитель приводится к
?'о (О Ф1(*) — Фо (0 ?i (О-Но это выражение есть не что иное, как выражение
^3*^2 —"
из п. 345, деленное на ея/. Значит, оно не обратится в нуль, если неустойчивое решение будет первой категории.
Следовательно, функциональный определитель, не обращаясь в нуль при и=0, также не обратится в нуль при достаточно малом и.
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed