Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Вариацию этого интеграла можно записать в виде
Аґ йу і __________ й/1
йуі ' е?? гіг, *
(1)
87=21 уМЦ:і‘
2 у'і&х'і — 2 Уі'іх, =
(2)
222
Новые методы небесной механики. [II
было полным дифференциалом. Мы видели, что в этом случае замена переменных не изменяет канонической формы уравнений; этот результат является, впрочем, непосредственным следствием различных предложений, которые сейчас последуют; пусть
{-р+21*'-жУ‘-
Мы имеем
где S0 и — значения функции S при < = <0 и < = /,.
Таким образом,
8/' = 3/ + [85М-'>. (3)
Если канонические уравнения (1) удовлетворяются, то мы имеем
^ = -Н2 •];-/' (4)
и, следовательно, в силу (2) и (3)
8/' = +[2 У'М\;]<-<*• (4bis>
Подобно тому как соотношение (4) эквивалентно уравнениям (1), соотношение (4bis) эквивалентно уравнениям
dx± Ы = ,1Ы у
dt dy'(' dt dx't' S'
Но мы только что видели, что (4) равносильно (4bis); уравнения (1)‘ эквивалентны уравнениям (Ibis), что означает, что, как мы уже знаем, замена переменных не изменяет канонической формы уравнений.
Тогда действие /' будет минимумом, если предположить, что начальные и конечные значения переменных х\ заданы. Каждой системе канонических переменных соответствует, таким образом, новая форма принципа наименьшего действия.
Уравнения (1) влекут за собой интеграл живых сил
F=h, (5)
где h — постоянная.
До сих пор мы предполагали два предела <0 и tx заданными; что произойдет, если считать эти пределы переменными? Так как F не зависит явно от времени, то мы не ограничим общности, предполагая, что <0 постоянно и давая приращение только пределу <г. Предположим, например, что <о=0 и вообразим, что после вариации переменные х( и у(
Различные формы принципа наименьшего действия
223
имеют В момент времени t те же значения, которые они имели
в момент fj до вариации.
До вариации мы будем иметь
/=-*(,+2 Wit**-
Но интеграл
\y<dSdt = \ y<dx*
не зависит от времени; следовательно, его вариация равна нулю. Таким образом, получаем
Ы = —Шу
Производная от действия J по верхнему пределу интегрирования равна, следовательно, постоянной энергии h с обратным знаком.
Если эта постоянная равна нулю, действие J снова является минимумом, если считать начальные и конечные значения переменных х{ заданными и если даже не считать заданными начальное и конечное значения времени tQ и ty
Если заменить F на F — h, J заменится на
J + h (tj — /0); (6)
так как уравнения (1) не изменяются, то это выражение (6) опять есть минимум.
Но если заменить F на F — Л, постоянная живых сил, которая была равна h, становится нулем; следовательно, выражение (6) есть минимум, даже если мы не считаем tx и t0 заданными.
Действие / есть минимум, каковы бы ни были переменные х{ и у у таким образом, оно будет a fortiori минимумом, если на него налагается новое условие, совместное с уравнениями (1).
Наложим, например, условие, чтобы удовлетворялся первый ряд уравнений (1), т. е.
dxf dF dt ~ dy{ ’
откуда
'= l'(-'+20"'= \Hdt'
^0 Л]
если положить
Действие J, определенное таким образом, есть минимум.
224
Новые методы небесной механики. III
Это принцип наименьшего действия, взятый в его гамильтоновой форме. Предположим теперь, что
А=0.
Таким образом, мы не будем более считать переменные х{ и у. независимыми, а подчиним их условию
^=0.|
Это ограничение, совместное с уравнениями (1), не мешает действию J быть минимумом.
Тогда
и, так как А равно нулю, этот интеграл является минимумом, если даже не считать заданными и 10.
Тогда наложим условия
6ц _<1Р 6Ь 6у{ ’
откуда найдем величины в функции
или же
,, п Л ~ ~ . йх1 6хг 6хх 6х% 6хх 6хп 6хх\
V 2’"'’ »’ ЧГ* бхх 61 ' бхх ЧГ бхл 61)' ' >
Подставим вместо у{ их значения (7) в / и в уравнение
^=0.
Из этого уравнения найдем йх1/(И в функции величин хк и йхк!йхх. Затем подставим это значение Лхх1й1 в выражения (7) и в /; этот последний интеграл примет вид
где Ф — функция переменных хк и производных с1хк1(1х1. Этот интеграл, взятый таким образом в форме, независимой от времени, снова есть минимум. Это принцип наименьшего действия в форме Мопертюи.
Если бы А не было нулем, то мы должны были бы только заменить Р на Р—А.
Различные формы принципа наименьшего действия
225
337. Изучим сначала наиболее важный частный случай. Предположил!, что мы имеем
р=т—и,
где Т — однородная фупкция второй степени относительно переменных у{, тогда как I/ не зависит от этих переменных.
Тогда
2 0<Ъг1т' п = т + и?
Согласно принципу Гамильтона, интеграл
Л
5 (Т + и)И
должен быть минимумом.
Посмотрим, какую форму принимает принцип Мопертюи; уравнение живых сил записывается в виде
Т — и = к.
Тогда действие в смысле Мопертюи выражается в виде
( (Т + I/ + /г) И.
В уравнениях
<1Т
<1у1 йу{
правые части линейны и однородны относительно переменных следовательно, Т — однородная функция второй степени относительно йх^йЬ-, пусть тогда сЬ2 означает результат замены в Т производных йх',./Л дифференциалами йх(\ мы получим
гр _
<11‘1
и йт2 будет квадратичной и однородной формой относительно п дифференциалов йх(\ отсюда выводим
