Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
а момент инерции I очень велик. Тогда получается
^ ^1 I 1 I
И
Н'=н-р«' = (Т, + Т2 + и) - - 7 СО'*
230
Новые методы небесной механики. III
или
III — Т _1_ Т7__________________
ІІШ
Н' = т1 + и-^
Но
т і аті
1ю' = Р—ф7-
Так как / и р очень велики по отношению к , то это уравнение
приближенно дает
и точнее
и)' = -у
, _ _р 1 <1Т1
ш ~ / I йш' ?
Кроме того,
1ш'2 р2 Раш' 1 /4Т{\2
2 ~~ 21 I + 21
Мы находим таким образом
Я' = г1+и-|н4(^1)'.
Предпоследний член в правой части является постоянной; последним можно пренебречь, потому что / очень велико.
Так как можно прибавить к Н', ничего не изменяя в принципе Гамильтона, какую угодно постоянную, то мы сможем положить
н" = т1-\~и,
а мы знаем, что интеграл
Г = 5 II" сИ
должен быть минимумом (даже тогда, когда начальное и конечное значения со не заданы).
В выражении Н" следует считать ш' заданной постоянной; тогда Н" является квадратичной неоднородной функцией от х\ вида Нй-{-Н^-{-11^.
Пусть, например, материальная точка массы 1 движется в плоскости, и ее координаты относительно подвижных осей суть бит;.
Мы будем иметь
„ (5'+(У+»'«)*
1 1— 2
Следовательно,
я, = **+?, Нг = со' (ЕУ - Е'ч), Н0 = ^ (Р + У) + и.
Различные формы принципа наименьшего действия
231
Интеграл
п
/=5(Я1 + Я1 + Я0)Л
*0
будет тогда минимумом, если считать заданными пределы ?0 и ?х, а также начальные и конечные значения 5 и т].
Тогда интеграл живых сил запишется в виде
Я2 = Я0 + Л,
и мы видели, что интеграл
1' = ^ (#2 + Нх + Я0 + А) ОЬ = / -|- А (? 1 — ?0)
есть минимум, если даже не считать заданными t0 и ?х.
Тогда мы находим
/' = $ (2Я2 + Нг) 01 = 5 [Л у/2 (Я0 + А) + со' (Мц — цсй)],
полагая
Оз2 = 0%2 + йт]2.
Это обобщенный принцип Мопертюи.
В задачах, которые мы будем рассматривать, Е/ будет всегда положительной, и, следовательно, / будет существенно положительным.
Это не всегда будет иметь место относительно Действительно, если А — отрицательно, то мы должны предположить, что точка ?, т\ не выходит за пределы области, определенной неравенством
Н0 + А>0.
Первый член выражения под знаком интеграла, равный Ову/Нд-]- 1г, существенно положителен; это не выполпено для второго члена, который меняет знак при перемене направления, в котором предполагается обход траектории.
Если точка ?, очень близка к границе области, в которой она заключена, если, следовательно, сумма Я0+А очень мала, то первый член будет очепь малым, и знак будет определяться вторым членом.
Итак, I' не является существенно положительным. В этом мы убеждаемся также при помощи уравнения
Я = / + А (?х — ta).
Если А отрицательно, то первый член / положителен, а второй — отрицателен.
Кинетические фокусы
341. До сих пор, когда я говорил, что такой-то интеграл есть минимум, я пользовался сокращенным, но неправильным оборотом речи, который, впрочем, никого не мог ввести в заблуждение; я хотел сказать,
232
Новые методы небесной механики. III
что первая вариация этого интеграла есть нуль; это условие необходимо для того, чтобы имел место минимум, но оно недостаточно.
Теперь мы исследуем, каково условие того, чтобы интегралы J и J’, которые мы изучили в предыдущих параграфах, действительно были минимальны. Это исследование связано с трудным вопросом о вторых вариациях и с изящной теорией кинетических фокусов.
Напомним принципы этих теорий.
Пусть хх, х2, . . ., хп — функции от ?; пусть ж', ж', . . ., х'и — их производные; рассмотрим интеграл
л
I = $ /(*,-. х\)^,
^0
первая вариация которого 8/ равна нулю, если считать заданными начальные и конечные значения функций ж,-.
Для того чтобы этот интеграл был минимумом, требуется сначала условие, необходимое, но не достаточное, которое я назову условием (Л). Именно, чтобы разность
/(*„ *;+в<)-2лй'
рассматриваемая как функция от е{, была минимумом [17].
Условие (Л) не является достаточным, по крайней мере, если пределы интегрирования не близки. За исключением этого случая, к нему необходимо присоединить другое условие, которое я назову условием (В). Чтобы сформулировать его, мне необходимо сначала напомнить определение кинетических фокусов.
Чтобы
8/ = 0,
необходимо и достаточно, чтобы функции х{ удовлетворяли п дифференциальным уравнениям второго порядка, которые я назову уравнениями (С). Пусть
х{ = (0
— решение этих уравнений.
Положим в качестве бесконечно близкого решения
= «Р< (0 +
и составим уравнения в вариациях, линейные уравнения, которым удовлетворяют и которые я назову (Д).
Общее решение этих уравнений (Д) будет иметь вид
Различные формы принципа наименьшего действия
233
Величины Ак есть 2п постоянных интегрирования, к есть 2п2 функций от *, полностью определенных и соответствующих 2п частным решениям линейных уравнений (П).
В этих предположениях напишем, что все к обращаются в нуль для двух заданных моментов 1=Ь' и ? = ?"; получим 2п линейных уравнений, из которых сможем исключить 2п неизвестных Ак.
Таким образом, мы получим уравнение
Д(*', П = о.
где Л есть определитель:
•ггт ^1, 2 ? - ], 2 я
?н, 2 ?
ЕТ.1 Ь" ?1, 2 ? ?], 2н
