Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Вот эти уравнения:
д2 + д, сое 2і).
(3)
второй — нечетный / (і)
[/ (0)=0, /' (0) = 1 ]
и нашли условия
Р(*) V (~) - / (") р' (*) = 1,
Р (тг) = (її) СОБ /мт.
Р (тг) = 1, Р1 (тг) = 0, Р(ъ) = 1, / («) = О
^?(п) = —1, Я(я) = 0,
Р(п) = -1, /(*) = 0
(а)
(Р)
(т)
(8)
* См т. І пасто я ш «го издания. {Прим. ред.).
248
Новые методы небесной механики. III
Какой категории принадлежат неустойчивые решения, которые соответствуют нашим заштрихованным областям? Прежде всего, ясно, что все неустойчивые решения, которые соответствуют одной из этих областей, одной и той же категории. Это немедленно вытекает из предыдущего.
Но в точке одной из кривых (|3) и (8) функция 6 сводится к / (<), а эта функция может обратиться в нуль, поскольку она нечетная. Таким образом, если область ограничена дугой одной из кривых (Р) и (8), то соответствующие решения будут второй категории.
Но то же относится ко всем нашим областям. Следовательно, все наши неустойчивые решения второй категории.
Легко преобразовать пример таким образом, чтобы иметь решения двух категорий. Достаточно заменить ц* на q, так чтобы этот коэффициент мог стать отрицательным.
Тогда уравнение (3) записывается в виде
q + q1 сое 21). (ЗЫэ)
Примем снова д и дх за прямоугольные координаты и построим фигуру, аналогичную фигуре на стр. 543. Часть фигуры, расположенная справа от оси q1 со стороны положительных д, будет аналогична фигуре на стр. 543. Но слева от оси q1 со стороны отрицательных q мы будем иметь заштрихованную область, ограниченную чем-то вроде параболы, касающейся оси q1.
Заштрихованные области справа будут соответствовать — мы только что это видели — решениям второй категории; но этого не будет для заштрихованной области слева.
Чтобы убедиться в этом, достаточно положить ql=0, откуда
х = ^-1; а = ^—q; 6=1.
353. Я опять провел анализ только в частном случае. Чтобы распространить его на общий случай, я покажу сейчас, что мы всегда приходим к уравнению того же вида, что и уравнение (2) предыдущего параграфа.
Рассмотрим сначала случай абсолютного движения; если 6 — силовая функция и если а; и у — декартовы координаты точки на плоскости,
то уравнения движения запишутся в виде
Х ~ йх ’ У Лу Х }
а уравнения в вариациях —
^ ^ (2)
? ~~ йа:2 5 ^ <1х<1у •’ '
„ М . бМ
5 ^ л,л V
ЛхНу <1у>-
Различные формы принципа наименьшего действия
249
Для большей краткости я обозначаю штрихами дифференцирование по 2. Так, представляет здесь й2Е/й?2, а не значение ? при ? = 2", как в п. 341.
Интеграл живык сил запишется в виде
.2 , ,2 1 +у = *7 +Л,
2
а соответствующий интеграл уравнений (2) —
х'Ь1 + у'ч1 = ? + -щр'Ч + ^ (гДе — постоянная).
Для приложения принципа Мопертюи необходимо предположить, что
8/1 = 0,
так что будем иметь
?ці і і і dU ь a dU a:'|'+y'V = —5 + —т)
или же
*'Е' + уУ = Л + А- (3)
Тогда уравнения (2) и (3) будут допускать три линейно независимых решения, которые мы обозначили в п. 345
1г=х', 7}1 = у',
??. Vs> (4)
^з> Чз-
Положим
0 = %у’ — т\х'. (5)
Тогда, если обозначим черев ®1> ®2> три значения 9, которые соответствуют трем решениям (4), будем иметь 0J = 0, и функция, которую мы назвали в п. 345 ? (2), будет не чем иным, как
С (/) = ?.
Из уравнения (5) находим
0' = t'y' — Tj'a:' + ly" — i]x" (6)
и
0" = \у* ~ т{ха + 1"у' — ц''х' + 2 {Vy" — у .г").
250
Новые методы небесной механики. III
Но х' и у' удовлетворяют уравнениям (2), так что имеем
т ми . , ми .
х= Чмх+1ыГуУ'
„ ми . . ми .
У =Ш1х'+-!уГУ'-
Заменим в выражении для 0" производные х"' и ую значениями, найденными таким образом, а производные X" и т)" пх значениями (2); получим
О" — 0Д[/ = 2 (Х'у" — у а?'). (7)
Я обозначаю через Д?7 (или, короче, через Д) сумму Двух вторых
ми , ми производных —
Легко проверить следующее тождество:
2 (х'2 + у'2) (Х'у" — У а?') — 2 (х'х!' + у'у") (X/ — т\х" + Х'у' ~ т\'х') +
+ 2 (а.-"2 + у"2) (Ху1 — т)ж') = 2 (у"х' — у'х") (Х'х1 + У г/' — Хх" — т\у") или, учитывая (5), (6), (7) и (3),
Ог'2 + у'2) (0" — 0Д) — 2 (х’х? + у'у») 9' + 2 (а/'2 +г/"2)0-=О. (8)
Таково дифференциальное уравнение, которое определяет неизвестную функцию 0.
Мы положим
0 = <р Ух'2 + у'2, и наше уравнение примет вид
У — л х’х« + у’у~ + 3х"* + 3у"2 3
У а^ + У'2 (*?» + /*)* ‘ ;
Мы получили уравнение того же вида, что и уравнение (2) предыдущего пункта. Таким образом, заключения предыдущего пункта сохраняются; неустойчивое периодическое решение будет второй или первой категории в зависимости от того, может ли функция <р обратиться в нуль или нет. Нельзя перейти прямо от неустойчивого решения первой категории к неустойчивому решению второй категории, не проходя через устойчивые решения.
354. Сохранятся ли опять те же результаты в случае относительного движения?
Различные формы принципа наименьшего действия
251
В этом случае уравнения движения имеют вид
х"~ 2шу' =4г’ у" + 2тх'= ’ (lbis)
где ш означает скорость вращения подвижных осей. Уравнения в вариа-
циях будут
ы о / d2U t , d2U
Е -2шт!=-йГ*+ш^ч’
„ , О 6# &U Е , d.w ( is)
^ +2(uS ^d^^+^^-
