Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 70

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 111 >> Следующая

•с" — т' = (т — целое)
и, кроме того, М” будет фокусом М', если
_м I ,1С
348. Таким образом, оказывается доказанным одно из наших трех предположений, что log G (t) должен быть периодическим. Теперь я говорю, что функция т должна быть, как мы это предположили, монотонно возрастающей.
Предположим, в самом деле, что эта функция допускает максимум т:0 при t=ta-, тогда мы сможем найти два таких момента t\ и t', что соответствующие значения т| и т" функции т равны друг другу, и два других таких момента <' и?,\ что т' = т"; наконец, таких, что эти пять моментов, и притом очень близких друг к другу, удовлетворяют неравенствам
16 А. Пуанкаре, т. II
242
Новые методы небесной механики. III
Тогда ?" будет фокусом ?(, ?" — фокусом ?'; но мы видели выше, что подобные неравенства невозможны, когда выполнено условие (В).
Я говорю теперь, что С (?) не может обратиться в нуль; действительно, мы имеем
. ^712—^1
С(0 =
Числитель и знаменатель ?(?) комплексные сопряженные; если один из них обращается в нуль, то другой также обращается в нуль, так что функция С (?) не может стать ни нулем, ни бесконечностью.
Таким образом, оказываются доказанными все наши предположения.
Неустойчивые решения
349. Предположим теперь, что решение неустойчиво, а а2 — положительно; в этом случае ?2, г;2, ?3, 7)3, С, а, С — вещественны.
По той же причине, что и выше, функция т будет монотонно возрастающей; однако возможны два предположения:
1. Либо С (?) не может обратиться ни в нуль, ни в бесконечность и монотонно возрастает от 0 до +°о, когда ? возрастает от —оо до +со.
Тогда ни одна точка периодического решения не имеет фокуса по Мо-пертюи.
2. Либо С (?) может обратиться в нуль при ?=?0; тогда она будет обращаться в нуль также при ?=?„+271, а так как она не может иметь ни максимума, ни минимума, то необходимо, чтобы она обращалась в бесконечность в интервале. Аналогично, если С (?) может обратиться в бесконечность, необходимо также, чтобы она могла обратиться в нуль.
Итак, предположим, для определенности, что С (I) обращается в бесконечность при
? = ?„> “Ь"
и при значениях ?, которые отличаются от них на кратное 2 тс, и обращается в нуль при
? = ?о> ?ь ?о “Ъ 2тс.
При этом я предполагаю
*о < ?о < ?1 < ?1 < ?0 + 2тг.
При этом, когда ? возрастает от ?„ до ?г, или от ^ до ?2, или от ?2 Д° *о+2 п, функция С (?) монотонно возрастает от —со до + с».
Замкнутая траектория (Т), которая представляет периодическое решение, будет, следовательно, разделена на две дуги, концы которых будут соответствовать значениям ?
?0, ?], ?0 2тс.
Различные формы принципа наименьшего действия
243
Каждая точка одной из дуг будет иметь свой первый фокус на следующей дуге.
Я прибавляю, что точки, соответствующие значениям Ь
совпадают со своими вторыми фокусами.
Пусть —значение ?, соответствующее любой точке (Т), а — значение ?, которое соответствует ее п-му фокусу; мы будем иметь
Но ото не все; мы получим
Если п очень велико и если б?(?") не есть бесконечность, то, так как разность Ь"п — ? очень велика и так как мы предполагаем а положительным, б?(?я) будет очень малым, так что если заключено, например, между 10 и то разность
будет стремиться к когда п будет неограниченно возрастать.
Если п стремится к —со, эта разность будет стремиться к t0 или к ^ в зависимости от того, будет ли ?" заключено между <0 и ?о или между ?о и ?]. Я добавлю, что разность ??„— 2птс либо монотонно возрастает, либо монотонно убывает с п.
Значения ?о, \\ соответствуют точкам, в которых
но разность ?i?fe—?jTh является периодической функцией, умноженной на eat, а периодическая функция должна обращаться в нуль в течение периода четное число раз.
Следовательно, замкнутая траектория (Т) будет разделена точками t0, t0-j~2n на определенное число дуг, и это число всегда будет четным.
350. С интересующей нас точки зрения неустойчивые периодические решения могут, следовательно, быть разделены на две категории. Однако можно было бы поставить вопрос о том, действительно ли существуют эти две категории. Таким образом, следует привести соответствующие примеры.
Пусть р и ш — полярные координаты подвижной точки на плоскости; уравнения движения запишутся в виде
е2“Ч5 (С) = e™"G (*")?
?‘2?i ------------- 2/?TC
-Z7!! —
d‘2p _______
dp dw dU dt dt dw ’
16*
244
Новые методы небесной механики. III
Предположим, что при р=1 имеем
П П dU Л dU A d2[/ / X
и = °> djr=*H
уравнения (1) будут допускать решение
Р = 1. u> = t,
и это решение будет соответствовать замкнутой траектории, которая будет окружностью.
Положим
р = 1 —j- С, о) ‘ t -|- и
и составим уравнения в вариациях; они запишутся в виде
Г , П | Г /,» d^V | п Л
~d№~~ dt ^ ( )* Ш + 2Ш = °-
Второе интегрируется немедленно:
^ + 2С = const,
но постоянная в правой части должна быть нулем, если мы хотим, чтобы постоянная живых сил имела одно и то же значение для траектории (Т) и для бесконечно близкой траектории.
Следовательно, если мы заменим dv/dt на —2С, то первое уравнение в вариациях примет вид
й=С[<р(0-3|. (2)
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed