Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (2), которое нам остается проинтегрировать, является линейным уравнением с периодическим коэффициентом.
Такие уравнения были рассмотрены в пунктах 29 и 189 (см., кроме того, главу IV, passim *).
Мы знаем, что они допускают два решения следующего вида:
C = e“'G(<), С = e"'tG1 (I),
где G и G[ — периодические функции.
Мы сейчас найдем примеры всех случаев, которые различали выше. Предположим сначала, что tp сводится к постоянной А (случай центральных сил).
Если А <С 3, то будем иметь устойчивое периодическое решение. Если А > 3, то на (Т) не будет фокусов по Мопертюи и получим неустойчивое периодическое решение первой категории.
* В разных местах. (Прим. ред.).
Различные формы принципа наименьшего действия
245
Мне остается показать, что можно также получить неустойчивые периодические решения второй категории.
Решение будет неустойчивым второй категории, если G обращается в нуль таким образом, что отношение
2G с7’
соответствующее функции ? (t) предыдущих параграфов, может обращаться в нуль и, следовательно, в бесконечность.
Но, очевидно, можно построить периодическую функцию G, удовлетворяющую следующим условиям:
1) она будет допускать два и только два простых нуля;
2) эти нули будут обращать в нуль также выражение
dW , „ dG 5Г •
Отсюда вытекает, что всякий раз, когда
С = е“'б
обращается в нуль, ее вторая производная будет также обращаться в нуль таким образом, что отношение
1 ЛК п
будет оставаться конечным.
Очевидно, можно построить функцию G, удовлетворяющую этим условиям; периодическая функция (р, построенная при помощи этой функции G, будет соответствовать неустойчивому периодическому решению второй категории.
В качестве примера функции G, удовлетворяющей этому условию, мы можем взять
G = sin t ^ (cos t — cos 31).
Эта функция обращается в нуль при f=0 и t—n\ она не имеет других нулей, если
?<Т-
При этом при <=0 и при <= ТС мы имеем
d%G . о dG г\
чш+2ачт=°-
Чтобы отношение б/бх обратилось в нуль, недостаточно, чтобы обратилось в нуль б, необходимо еще, чтобы б! в нуль не обращалось.
246
Новые методы небесной механики. III
Но это как раз и имеет место, так как если бы 6 и обратились в нуль одновременно, то два решения
С = ^‘С(0, С = (I)
могли бы отличаться друг от друга только постоянным множителем (поскольку они удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению второго порядка), а это нелепо.
351. Факт, на который я хотел бы обратить внимание, состоит в том, что неустойчивые решения первой и второй категории образуют два таких непересекающихся множества, что нельзя перейти от одного к другому непрерывным образом, не переходя через устойчивые решения.
Ограничимся сначала частным случаем предыдущего параграфа и снова возьмем уравнение (2)
Будем варьировать непрерывным образом функцию <р и посмотрим, можно ли непосредственно перейти от неустойчивого решения первой категории к неустойчивому решению второй. Для этого необходимо, чтобы вещественная функция 6 сначала не могла обращаться в нуль, а затем могла стать нулем. Таким образом, мы перешли бы от случая, когда все корни уравнения 6=0 мнимые, к случаю, когда его корни вещественны. В момент перехода оно имело бы один двойной корень или, вообще, корень кратности 2т.
Этот нуль, который будет для в порядка 2т, будет порядка 2т —1 для с26/й?, порядка 2т—2 для <?6/йг2, так что выражение
аю <1в
+ 2а йе + а'°
обратится в бесконечность, что невозможно, поскольку оно равно —3.
Напротив, можно перейти от устойчивого решения к неустойчивому решению той или иной категории.
Действительно, для устойчивого решения функция 6 мнимая. В момент, когда решение становится неустойчивым, мнимая часть 6 становится тождественным нулем; если в этот момент вещественная часть 6 имеет нули, мы перейдем к неустойчивому решению второй категории; если эта вещественная часть никогда не обращается в нуль, мы перейдем к не устойчивому решению первой категории.
При этом нет никаких затруднений для перехода от случая, когда все корни уравнения
вещественная часть 6=0
Различные формы принципа наименьшего действия
247
мнимы, к случаю, когда корни этого уравнения вещественны, лишь бы в момент перехода мнимая часть б не была нулем.
352. Чтобы лучше пояснить предыдущее, я вернусь сейчас снова к примеру, который нам уже знаком.
Возвратимся к уравнению Гильдена, т. е. к уравнению (1) п. 178. Мы дадим этому уравнению номер (3) и запишем его в виде
Мы видим, что оно имеет ту же форму, что и уравнение (2). Это уравнение имеет, как и уравнение (2), два интеграла вида
Случай вещественного к соответствует тогда случаю устойчивых решений, а случай комплексного К — случаю неустойчивых решений.
Мы рассмотрели также два замечательных интеграла; первый — четный Р (7)
Я ссылаюсь теперь на рисунок на стр. 543 (том II *), на котором, считая ц и д1 прямоугольными координатами точки, мы отделили области, соответствующие устойчивым решениям, от тех, которые соответствуют неустойчивым решениям. Эти последние заштрихованы.
Эти различные области отделены друг от друга четырьмя аналитическими кривыми, уравнения которых я дал на стр. 541 (том II).
