Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
п2 т1 *
174
Новые методы небесной механики. III
откуда следует, что все точки инвариантной окружности хх=Ъ совпадут с их тпх-й последующей.
Эта точка и ее тп1—1 первых последующих распределены на этой окружности в круговом порядке, который легко восстановить, зная два целых числа пг1 и т2; я назову этот порядок ?2.
Не будем предполагать более, что ц=0; уравнения (1), согласно главе III, снова будут допускать периодические решения, мало отличающиеся от решений
хх=Ъ, у1=л1Н-соп51, г/2 = н22+соп81;.
Они допускают, по крайней мере, два таких решения, из которых одно неустойчиво, а другое устойчиво. Каждому из этих периодических решений будет соответствовать замкнутая траектория; я рассматриваю одну из этих траекторий, которую обозначаю Т и которую буду считать соответствующей неустойчивому решению, с тем, чтобы через Т проходили две асимптотические поверхности.
Пусть М0 — точка, в которой эта траектория пересекает полуплоскость у2—О, Мх, М2, ... — ее последовательные последующие (рис. 7). Точка М0 совпадет со своей тпх-й последующей Мт1.
Я соединяю точку Мк с центром окружности хх=Ь) проведенный таким образом радиус пересекает окружность в точке Мк, очень близкой к Мк.
Различные точки М'к будут следовать на окружности в круговом порядке ?2.
Я сделал рисунок, предполагая для определенности, что пг1=5, т2=2.
Замкнутая траектория Т пересекает полуплос кость в пяти точках М0, Мх, М2, М3, Л74. Через эту траекторию проходят две пересекающиеся асимптотические поверхности.
Пересечение этих асимптотических поверхностей с полуплоскостью будет состоять из различных кривых; мы будем иметь две кривые, пересекающиеся в М0, две — в Мх, две — в М2, две — в М3, две — в М&. Все эти кривые представлены на рисунке.
А< Рассмотрим, в частности, две кривые, прохо-
рис 7 дящие через М3, будем различать четыре ветви
и ' кривой, а именно, М0А0, М0В2, М0Р0, Л/0(20; две
первые представлены сплошной линией, две последние — пунктиром; первая и третья, так же как вторая и четвертая, лежат на продолжении друг друга.
Аналогично, в каждую из точек АТ входят четыре ветви кривой, из которых две представлены сплошной линией, а две — пунктиром, и которые лежат попарно на продолжении друг друга.
Пусть А0 — точка ветви Лf0B0; проведем через А0 радиус, идущий к центру окружности хх=Ь, и продолжим этот радиус до пересечения его в точке
Теория последующих
175
В0 с кривой, изображенной сплошной линией М3В0. Так как р очень малб и все наши кривые мало отличаются от окружности г1=6, отрезок А0В0 будет очень малым.
Тогда мы видим, что МгАу, М2А2, М3А3, М±А^ МйАъ являются последовательными последующими М0Аа-, что М^ВЪ М0В2, М\ВЪ, М2ВА, МЪВЪ есть последующие М3В0 и, наконец, что АуВг, А^В2, . . ., АЬВЬ — последующие АйВ0.
Дуги АуВу, А2В2, . . ., АЬВ6, вообще, более не прямолинейны, а являются очень малыми дугами кривой.
Часть фигуры, состоящая из сплошной линии, воспроизводит рис. 1 или 2 из н. 308, а множество сплошных кривых представляет инвариантную кривую К.
Я сделал рисунок при первом предположении, которое, как мы видели, должно быть отброшено, так же как и пятое; согласно сказанному в п. 309,. то же относится и ко второму предположению.
Четвертое предположение необходимо изучить более детально. Для этого найдем уравнение асимптотических поверхностей. Согласно тому, что мы видели в п. 207, это уравнение можно получить следующим образом.
Построим функцию ?, разложимую по степеням у/р так, что
Что касается 5^, то это периодическая функция с периодом 2п относительно у'2 И С периодом 471 по у\.
Далее мы имеем
Уравнение (4) является уравнением асимптотической поверхности. Если бы ряд Б сходился, то из периодичности следовало, что кривые должны быть замкнуты, а две точки А0 и В0 совпали бы. Но это не так (см. п. 225 и след.).
Что же означает тогда уравнение (4)? Оно может быть верным только с формальной точки зрения, т. е. если есть сумма р+1 первых членов ряда 5 так, что
р
$ — + + Р 2|$> +
(4)
Р
2^ = о + Vи-*5,1 -+- ^2
то уравнение
(41нз)
ри-
будет верным с точностью до величин порядка р 2 .
Теория последующих
175
В0 с кривой, изображенной сплошной линией М3В0. Так как р очень малб и все наши кривые мало отличаются от окружности г1=6, отрезок А0В0 будет очень малым.
Тогда мы видим, что МгАу, М2А2, М3А3, М±А^ МйАъ являются последовательными последующими М0Аа-, что М^ВЪ М0В2, М\ВЪ, М2ВА, МЪВЪ есть последующие М3В0 и, наконец, что АуВг, А^В2, . . ., АЬВЬ — последующие АйВ0.
Дуги АуВу, А2В2, . . ., АЬВ6, вообще, более не прямолинейны, а являются очень малыми дугами кривой.
Часть фигуры, состоящая из сплошной линии, воспроизводит рис. 1 или 2 из н. 308, а множество сплошных кривых представляет инвариантную кривую К.
Я сделал рисунок при первом предположении, которое, как мы видели, должно быть отброшено, так же как и пятое; согласно сказанному в п. 309,. то же относится и ко второму предположению.
Четвертое предположение необходимо изучить более детально. Для этого найдем уравнение асимптотических поверхностей. Согласно тому, что мы видели в п. 207, это уравнение можно получить следующим образом.
