Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Периодические решения второго рода
189
и показатели этого периодического решения 2, = <р,- (<). рассматриваемого как решение уравнений (1), исключая тот из п показателей, который равен нулю.
Для того чтобы в окрестности точки прямой (4) уравнения (1) допускали периодические решения второго рода, необходимо и достаточно, чтобы их допускали уравнения (Ibis), т. е. чтобы в точке прямой (4) один из п — 1
характеристических показателей ац яг, . . ., an_j был кратным 2in/kT.
Таким образом, условие, сформулированное выше, что якобиан величин ф2, . . ., фя_1, F равен нулю, допускает совершенно иную формулировку. Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы два показателя были кратными 2in/kT', это всегда справедливо для одного из них, равного нулю; это должно быть верным и для второго показателя.
Предположим, что это условие выполнено. Из уравнений (3bis) найдем Ь в виде рядов, расположенных по целым и дробным степеням
Я пе буду выяснять, являются ли эти ряды вещественными.
318. Предположим теперь, что Х( не зависят явно от времени и что уравнения (1) допускают интеграл
F=C.
В этом случае согласно п. 66 два из характеристических показателей равны нулю. Если для некоторой системы значений р. и С уравнения допускают периодическое решение, то они будут допускать его также для близких значений, так что мы будем иметь оо2 периодических решений
зависящих от двух параметров ци С. Период Т пе будет постоянным, он будет функцией (X и С.
Дадим тогда С определенное значение С0, и пусть снова
?< (0) + Рр ?,? (0) + Р,- + Фi
— значения х( при f=0 и при t=k (7+ т).
К уравнениям (3) п. 314
^ = ^=...=*„ = 0
присоединим сначала уравнение F~C0, а затем произвольное соотношение между величинами В, например ^=0.
В самом деле, мы можем без ограничения общности и по той же причине, ЧТО И В П. 316, предположить Р|=0.
Таким образом, получим систему
ф, = 0, F = С0, р1 = 0.
(3ter)
190
Новые методы небссноЁ механики. III
Эти уравнения представляют кривую; в самом деле, число уравнений равно n-f-2; но п уравнений (3) не независимы и могут быть заменены п—1 из их числа по той же причине, что и в предыдущем пункте. Таким образом, система (3ter) сводится к п+1 уравнениям. Число переменных рапно п+2, а именно:
Рг> ? ? • > Ря' т>
Эта кривая (3ter) содеришт прямую
Р. = 0.
Пусть Pi=0, р=р0 — точка этой прямой. Для того чтобы через эту точку проходила другая ветвь кривой, пеобходимо, чтобы якобиан левых частей уравнений (3ter) был равен нулю, или, что означает то же, чтобы якобиан п — 1 величин (р и f относительно Pj, Рз» ? ? •! Ря и т был равен нулю, или, наконец, поскольку Pj ничем не отличается от остальных р, чтобы якобианы от F и любых, п — 1 из величин р были все равны нулю.
Это условие допускает другую формулировку.
Как и в предыдущем пункте, из уравнения F=C0 найдем
хя~® (хк xv ? ? •> жя-а)
и получим уравнения
= (i = l, 2,..., и-1). (Ibis)
Тогда согласно п. 316 необходимо, чтобы из п — 1 характеристических показателей [если периодическое решение считается принадлежащим уравнениям (Ibis)] один был нулем, а второй — кратным 2in/kT', или, что означает то же, чтобы из п характеристических показателей [если периодическое решение считать принадлежащим уравнениям (1)] два были равны нулю, а третий был кратным 2ir./kT.
Предположим, что это условие выполнено; из (3ter) найдем величины р и т в виде рядов, расположенных по целым или дробным степеням X; я воздержусь также здесь от их исследования.
Приложение к уравнениям динамики
319. Мне хотелось бы провести более полное исследование, связанное с уравнениями динамики; но для этого нужно сначала доказать одно важное свойство этих уравнений.
Пусть и nt — значения xi и у. при ?=0; пусть Х{ и Y( — значения xt и при t=T. Мы знаем, что
| j 'Zdxidyi
Периодические решения второго рода
191
— интегральный инвариант; следовательно, будем иметь
5(2(^у,.-ад<) = о,
где двойной интеграл распространен на какую-нибудь область А.
Это можно записать так:
[ 2 (Х^?{ - ?^Х{ - Е(Й7|4 + 7|€Д4) = О,
где интеграл распространен на границу области А, т. е. на какой-нибудь замкнутый контур.
Другими словами, выражение
2 (Х,Л?< - У<ЛХ, ^ Мъ + Х<К<)
есть полный дифференциал.
Отсюда следует, что
ау = 2 [(X, -1,.) л (У, + ъ) - (У, - х) а {X, + ?,)]
есть тоже полный дифференциал.
320. Если изменять Т, то ясно, что ? будет функцией от Т. Вычислим производную от 5 по 7 при помощи уравнений
АХ<_ аР ЛУ{ _ АР
АТ АУ{' АТ ~ АХ{-
Имеем
аг=! 2 $г*•<у+ч)'- %'л <х+ Е> + Е>'* тг-<у -ч)'* зт] ?
или же
й=!2[й‘г(1'+,1)+и‘'(Х+?,--(Х-5)‘гя-(у-ч)‘гй]'
или, интегрируя по частям,
§= -2[(2.-8)? + (У-,)§]+ 2 5 М + §.*г).
или, наконец,
Ц = — 2 \}Х — Е) !гу + (У — 71)5?]+ произвольная функция от Т.
Мы примем произвольную функцию от Т равной постоянной —-2С и будем иметь
« = 2(/'.-о_2[(х-8)й + (у-’1)г?]-
192
Новые методы небесной механики. III
При Т = 0 имеем dS = 0 и, следовательно,
S = const.
Примем эту постоянную равной нулю, так что S обратится в нуль тождественно при Т=0; таким образом, функция S определена полностью.
