Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения (6) представляют кривую; пусть М0 — точка, в которой эта кривая пересекает полуплоскость; эта точка М0, очевидно, будет своей собственной последующей.
Предположим теперь, что существуют асимптотические решения, очень близкие к периодическому решению (6). Пусть уравнения
ж = ф1(0. г/ = Ф2(0. г = фз(0 (7)
представляют эти решения.
Функции Ф< будут разложимы по степеням Аел‘, причем коэффициенты будут периодическими функциями от ?. В этом выражении а — характеристический показатель, А — постоянная интегрирования.
В уравнениях (7) три координаты х, у, г выражены, следовательно, в функции двух параметров А и ?; таким образом, эти уравнения представляют поверхность, которую можно назвать асимптотической поверхностью. Эта асимптотическая поверхность пройдет через кривую (б), потому что уравнения (7) приводятся к уравнениям (6), если в них положить А =0.
Теория последующих
163
Асимптотическая поверхность пересечет полуплоскость вдоль некоторой кривой, проходящей через точку М0 и, очевидно, являющейся инвариантной кривой.
308. Рассмотрим инвариантную кривую К. Я предполагаю, что X, У, Ъ зависят от параметра р так же, как и кривая К.
Я предполагаю, что при р=0 кривая К замкнута, но что она перестает быть замкнутой для малых значений ц.
Пусть А0 — точка кривой К. Положение этой точки будет зависеть от р; при р=0 кривая К замкнута, так что после обхода этой кривой, начиная с А0, мы возвращаемся в точку А0; если ц очень мало, этого более не произойдет, но мы вновь пройдем очень близко от А0; следовательно, мы будем иметь на кривой К дугу кривой, отличной от той, на которой лежит А0, но которая пройдет очень близко от Ай. Пусть В0 — точка этой дуги кривой, которая наиболее близка к А0.
Я соединяю А а с В0.
Пусть Аг а Вг — последующие А0 и Вй\ эти две точки будут лежать па К; пусть А1В1 — последующая кривая малого отрезка прямой А0Вй.
Мы должны будем рассмотреть замкнутую кривую С0, которая состоит из дуги А0МВ0 кривой К, заключенной между А0 и В0, и малого отрезка прямой А0В0. Какова будет ее последующая?
Предположим для определенности, что четыре точки Ах, А0, Вг, Ва следуют на К в порядке А-^АоВф^. Последующая С1 кривой С„ будет
состоять из дуги А1МВ1 кривой К и малой дуги А1В1 — последующей малого отрезка прямой А0В0.
Можно сделать несколько предположений.
1. Малый криволинейный четырехугольник А0В0А1В1 — выпуклый; я хочу сказать, что ни одна из его криволинейных сторон не имеет двойной точки и что единственными точками, общими для двух сторон, являются вершины. При этом предположении кривая представится в том виде, как это указано на одном из следующих двух рисунков (рис. 1 и 2).
И*
164
Новые методы небесной механики. III
Эта гипотеза должпа быть отброшена, ибо очевидно, что интеграл / в случае рис. 1 больше для Су, чем для С0, и меньше в случае рис. 2.
2. Дуга А0Ау или А1В1 имеет двойную точку. Если бы инвариантная кривая К имела двойную точку, то мы должны были бы иметь двойную точку на дуге, соединяющей любую точку кривой с ее первой последующей; мы предположим, что это не так; и, в самом деле, это обстоятельство не представится ни в одном из приложений, которые я имею в виду; в частности, оно не представится в случае инвариантной кривой, порожденной асимптотической поверхностью, как я это объяснил в конце предыдущего пункта. В самом деле, легко установить, что асимптотическая поверхность не содержит кривых, состоящих из двойных точек, если ограничиться частью этой поверхности, соответствующей малым значениям величин, которые я назвал выше Аеа‘.
С другой стороны, прямая А0В0 не имеет двойной точки, и то же самое должно быть на ее последующей АуВу. В итоге мы можем предположить, что четыре стороны нашего четырехугольника не имеют двойной точки.
3. Дуга А0АХ пересекает дугу ВаВ1. (Этот случай содержит как частный случай тот, когда кривая К замкнута.) Тогда наши кривые имеют вид, представленный на рис. 3.
4. Дуга А0В0 пересекает свою последующую АуВу. В этом случае наши кривые будут иметь вид, представленный на рис. 4.
Имеются случаи, когда это предположение следует отбросить. Предположим, например,’что X, У, Z зависят от параметра ц, что при р=0 кривая К замкнута и что каждая из ее точек является своей собственной последующей, так что при р=0 четыре вершины четырехугольника совпадают.
Тогда четыре расстояния АДЗуу, АуВу, АуА0, ВуВ0 будут бесконечно малыми, если р является основной бесконечно малой. Предположим, что АуА0 — бесконечно малая порядка р, АДЗ0 — бесконечно малая порядка д и что д больше р.
Так как АуВу — последующая А0В0, то длина дуги АуВу должна быть порядка д. Пусть тогда С — одна из точек пересечения дуги А0В0. В треугольнике, у которого две стороны — прямые АгА0 и А0С, а третьей стороной является дуга кривой АуС, составляющая часть АуВу, сторона АуС больше разности двух других; следовательно, она должна быть порядка р, а мы видели, что она должна быть порядка д.
Следовательно, это предположение должно быть отброшено.
5. Дее смежные стороны четырехугольника пересекаются, например АуА0 и АуВу. В этом случае необходимо, чтобы дуга А0В0, являющаяся предшествующей АуВу, сама пересекала К; если А'0 — точка пересечения А0В0 с К, а Л' — точка пересечения АуВу с дугой А0Ау, то А[ будет последующей А'„ и мы получим следующую фигуру (рис. 5).
