Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
В самом деле, если
х1 = /,. («)
— периодическое решение, то таким же будет
xi = fi (* + А).
какова бы ни была постоянная А, и это новое решение на самом деле не будет отличаться от первого.
Первому решению соответствует точка
Р| = Л (0) — «р* (0).
а второму — точка
Э, = /,(А)-Ч\(0).
186
Новые методы небесной механики. III
Когда А изменяется непрерывным образом, вторая точка описывает кривую, различные точки которой не соответствуют, следовательно, действительно разным решениям.
В частности, рассмотрим решение
*< = ?< (*)•
Этому решению будет соответствовать точка
Р| = 0,
которая принадлежит прямой (4).
Решению
= <Р< (* + Ь),
которое не отличается в действительности от первого, будет соответствовать точка
= — <Р< (0), (4Ыб)
принадлежащая некоторой поверхности (4Ь1з), составляющей часть поверхности (3).
Речь идет о том, чтобы узнать, содержит ли поверхность (3) другие ветви, кроме (4Ь1в), и такие, которые очень близки к (4Ыб); т. е. существуют ли на поверхности (4Ыз) точки, через которые проходят другие ветви поверхности (3), кроме самой поверхности (41пз).
Без ограничения общности МЫ сможем предположить, что ^1 = 0 (или принять другое произвольное соотношение между величинами (3). Действительно, решения
х{ = /ДО. *, = /,(* +А)
на самом деле не отличаются друг от друга, и будет достаточно рассмотреть одно из них.
Таким образом, мы можем выбрать произвольно постоянную А; и мы можем сделать это, папример, так, чтобы
К №) = Ч>1 (0),
откуда
Рх = 0.
что и требовалось доказать.
Если мы примем условие =0, то две поверхности (3) и (4Ыб) сведутся к кривым и, в частности, поверхность (4Ыз) сведется к прямой (4).
Мы снова приходим к исследованию того, проходит ли через точку прямой (4) другая ветвь кривой (3).
Для этого составим комбинацию уравнения рх=0 с уравнениями (3); эти уравнения представят кривую (3) или же кривую, частью которой
Периодические решения второго рода
187
будет кривая (3). Для того чтобы эта кривая не сводилась в рассматриваемой области к прямой (4), необходимо, чтобы якобианы величин фх, ф2, . . фп, (Зх относительно р2, . . (Зя, ти якобиан от фх, ф2, . . фя относительно ^2, {З3, . . ., Ря, т были равны нулю при /.=0.
Поскольку рх ничем не отличаются от остальных (3, то все якобианы величин ф относительно т и п — 1 любых р должны обращаться в нуль, т. е. все определители, содержащиеся в матрице пунктов 38 и 63, должны одновременно обращаться в нуль. Рассуждая так же, как в п. 63, мы увидим, что 5-уравнение должно иметь два нулевых корня.
Отсюда вытекает, что два характеристических показателя должны быть кратными 2? к/кТ. Это уже справедливо для одного из них, равного нулю. Второй показатель должен быть кратным 21ъ!кТ.
Если это условие выполняется, то мы составим систему п+1 уравнений, содержащую уравнения (3) и рх=0. Из нее найдем т и величины р в виде рядов, расположенных по целым и дробным степеням X.
Если эти ряды вещественны, то будут существовать периодические решения второго рода; если ряды комплексные, то таких решений не будет.
Я не буду развивать это более подробно.
317. Предположим теперь, что уравнения
^ = 0) в которые время входит явно, допускают однозначный интеграл
*?=?,
так что мы имеем
Мы видели в п. 64, что в этом случае якобиан величин относительно ф обращается в нуль и что один из характеристических показателей равен нулю.
Уравнения (3) п. 314
Ф1 = Фг= • = ФЯ = °
в таком случае не являются независимыми, поскольку мы имеем тождественно
р [*, (0) + Р, + Ф,.] - р (0) + РЛ = о.
Таким образом, они представляют не кривую, а поверхность.
Но в этом случае согласно принципам главы III мы имеем со2 периодических решений с периодом Т
= <р. (г),
188
Новые методы небесной механики. III
поскольку каждому значению параметра р= X и каждому значению постоянной С соответствует одно периодическое решение. Условимся придавать постоянной С определенное значение С0 и получим только со1 периодических решений с периодом Т
= *р* (0.
каждое из которых соответствует одному значеиию X.
Так как уравнения (3) не являются независимыми, то они могут быть заменены п — 1 из их числа, например, следующими:
+1 = Ф* = - - - = Фи-1 = °'
Рассмотрим тогда систему
*, = ф, = . .. = = 0, F [у,. (0) + р4] = С0. (3bis)
Уравнения (3bis) представляют уже не поверхность, а кривую, частью которой является прямая
Р, = 0. (4)
Для того чтобы через точку прямой (4) проходила другая ветвь кривой, необходимо, чтобы якобиан величин
Фм Фг Ф-1. F
относительно р обращался в нуль.
Это условие можно представить еще и в другой форме.
Предположим, что мы разрешили уравнение
F(xt) = C0
относительно хя, и это решение дает
*я = 0(*1, хг х^).
Подставим 0 вместо хя в X,., и пусть — результат этой подстановки. Таким образом, уравнения (1) окажутся замененными следующими:
% = Х' (i = l,2........../г-1). (Ibis)
Эти уравнения (Ibis) будут допускать периодическое решение
х{ = ъ (0.
Число характеристических показателей этого периодического решения, рассматриваемого как решение уравнений (Ibis), будет равно п — 1. Пусть ах, а2, . . ., ая_1 — эти п — 1 показателей. Они будут теми же, что
