Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
?=х, 4|-=к, -g-=z. о
Величины X, Y и Z суть заданные и однозначные функции от х, у, z; предположим сначала, что X и У обращаются в нуль на всей оси z, так что
х=у=0
есть решение уравнений (1).
Далее положим
х = р cos ш, у = р sin ш; тогда уравнения (1) примут вид
4г=л’ тг=а- 1=г- <2>
где R, Q и Z — функции от р, и, z, периодические с периодом 2п относительно ft).
Мы условимся давать р только положительные значения и сможем это легко сделать, поскольку х=у=0 есть решение.
Я предполагаю теперь, кроме того, что Q никогда не может обратиться в нуль, оставаясь, например, положительной; тогда ш всегда будет возрастать вместе с t.
Вообразим, что мы проинтегрировали уравнения (2) и что их решение представлено в форме
Р = /х(<в, а, Ь), Z=f2(О), а, Ь).
Буквы а и Ь представляют постоянные интегрирования.
160
Новые методы небесной механики. III
Пусть
Ро = Л (°. ъ)> 20 = /2 (0> а, Ь),
Рл = Л (2тг, а, Ъ), г1 = ^(2п, а, Ь).
Пусть Мд — точка, координаты которой суть х = Ро. У — 0, г = г0,
а Мх — точка с координатами
х~Рг> У = 2 =
Эти две точки принадлежат полуплоскости хг, расположенной со стороны положительных X.
Будем называть точку Мх последующей точки М0.
Это название оправдано тем, что если рассмотреть семейство кривых, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям (1), и если провести через точку М0 кривую этого семейства и продолжить ее до тех пор, пока она снова не встретит полуплоскость (у=0, х 0), то это новое пересечение будет иметь место в Мх.
Если в этой полуплоскости построить любую фигуру Р0, то последующие различных точек Р0 образуют фигуру которую мы будем называть последующей Р0.
Ясно, что рг и — непрерывные функции от р0 и г0.
Следовательно, последующая непрерывной кривой будет непрерывной кривой, последующая замкнутой кривой будет замкнутой кривой, последующая /г-связной области будет тг-связной областью.
Предположим теперь, что три функции X, У и X связаны соотношением
йМХ йМУ аиг ах, ау ~т~ лх ~ ’
где М — положительная и однозначная функция от х, у, ъ.
Тогда уравнения (1) допускают интегральный инвариант
^ Мдхдудг,
?а уравнения (2) допускают
^ Мрдрдшдг.
Рассмотрим теперь уравнения
<1р __ Я аг ___ 2 йш __ .
~аИ “ёГ > 1Г * '
?где ш рассматривается как независимая переменная.
Теория последующих
161
Очевидно, они допускают интегральный инвариант
J MQad?dwdz
(4)
(см. п. 253).
Так как М, ?2 и о предполагались выше существенно положительными, то это — положительный интегральный инвариант.
Пусть Р0 — любая область, расположенная в полуплоскости
распространенный на плоскую область /у а 11 — тот же самый интеграл, распространенный на плоскую область /г'1.
Пусть тогда Ф0 — объем, порожденный областью при ее повороте вокруг оси г на бесконечно малый угол е; интеграл (4), распространенный на Фх, будет равен /1е.
Так как интегральный инвариант (4) должен иметь одно и то же значение для Ф0 и для Фх, то должно быть
Таким образом, интеграл (5) имеет одно и то же знамение для любой области и ее последующей.
Это — новая форма фундаментального свойства интегральных инвариантов.
306. Итак, пусть дана замкнутая кривая СУ лежащая в полуплоскости (у=0, х > 0) и ограничивающая область Ъ\. Пусть С1 — последующая кривой С0, она будет также замкнутой кривой, ограничивающей область ТУ а эта область будет последующей Е0.
Если интеграл (5), распространенный на Е0 и на /у имеет значения /„ и /ц то
и отсюда следует, что F0 не может быть частью /у а F у — частью F0.
Можно сделать четыре предположения об относительном расположении обеих замкнутых кривых С0 и СУ
1) Су лежит внутри С0;
2) С0 лежит внутри Су
3) обе кривые лежат вне друг друга;
4) обе кривые взаимно пересекаются.
И А. Пуанкаре, т. II
a F у — ее последующая. Пусть /0 есть интеграл
(5)
162
Новые методы небесной механики. III
Уравнение Jo=J^ исключает две первые из этих гипотез.
Если по какой-либо причине исключается также и третье предположение, то наверняка обе кривые пересекаются.
Предположим, например, что X, У, Z зависят от произвольного параметра ц и что для р.=0 кривая С0 будет своей собственной последующей; тогда для очень малых значений ц кривая С0 будет очень мало отличаться от Сх, следовательно, не может случиться, чтобы обе кривые С0 и С1 лежали вне друг друга; они должны пересекаться.
Инвариантные кривые
307. Я назову инвариантной кривой всякую кривую, которая будет своей собственной последующей.
Легко построить инвариантные кривые; пусть, в самом деле, М0 — любая точка полуплоскости, М1 — ее последующая; соединим М0 с Мх любой дугой кривой С0; пусть Сг — последующая дуги С0, Са — последующая Сх и так далее. Множество дуг кривых С0, С1г Сг, • • очевидно, составит инвариантную кривую. Однако мы должны также рассмотреть инвариантные кривые, происхождение которых будет более естественным.
Допустим, что уравнения (1) допускают периодическое решение.
Пусть уравнения
* = ?1(0. У — 92 (0> 2==1Рз(0 (6)
представляют это периодическое решение, так что функции <р, периодичны
по I с периодом Т.
Я предполагаю, что когда ? увеличивается на Т, ш увеличивается на 2 тт.
