Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
321. Будем искать максимумы и минимумы функции S. Будем сначала считать Т постоянной. Для того чтобы функция S имела максимум или минимум, необходимо, в предположении, что эту функцию S можно считать однозначной функцией переменных Х,.+?,- и Y{+ f]{ в рассматриваемой области, необходимо, говорю я, чтобы ее производные но этим переменным были равны нулю, т. е. чтобы было
Xt = tit Yt = Tji.
Следовательно, соответствующее решение является периодическим решением с периодом Т, и этот период Т здесь является одним из параметров задачи.
Не будем более считать Т заданной величиной; для того чтобы S имела максимум или минимум, необходимо, чтобы было
Xt = lt, ?< = Ъ
и, кроме того,
Но если Х=?, 1г^= т), то остается
Й = 2(^-С),
откуда
Соответствующее решение снова будет периодическим с периодом Т.
Но период Т не будет более параметром задачи; в этом случае заданной будет постоянная живых сил С, которая не встречалась в предыдущем случае.
Два способа разыскания максимумов 5 связаны с двояким пониманием принципа наименьшего действия — принципа Гамильтона и принципа Мопертюи. Это станет более понятным после чтения следующей главы.
322. Определение функции 5 может быть изменено также следующим образом.
Очень часто в приложениях ^ — периодическая функция с периодом 2 и относительно уг В этом случае решение можно также считать периодическим, когда а величина У,.— т\( кратна 2^.
Периодические решения второго рода
193
Тогда ясно, что если мы положим
= 2 их, - и Л (У, + ъ) - (У, -ъ- 2т,«) Л (X, + &,)],
где ту, т,, . . тп — какие-нибудь целые числа, то выражение йБ снова будет полным дифференциалом.
При этом мы найдем
^№ - 2 [<х - ?> к+<у - ч - 2т-> 1Я+
+ произвольная функция от Т.
Примем
" = 2(г_о-2[<х-?>ат+<1'-’>-а»">2у]-
При Г=0 имеем
^5 = 2
Примем
? = 4к 2 пг1^»
что завершает определение функции 5.
Максимумы и минимумы 5 в предположении, что период Т задан, получаются приравниванием нулю ее производных, что дает
Х( = У, = Щ{ +
Соответствующее решение снова является периодическим, поскольку величина У;—г;, кратна 2 к. Период Т задан.
Бели Т не задано, то необходимо сначала, чтобы было
У{ = ч + 2пг<"
и, кроме ТОГО, чтобы
— — о
ЛТ~ '
откуда
Р=С.
323. Теперь нам нужно научиться распознавать истинные максимумы и истинные минимумы 5; действительно, до сих пор мы искали условие того, чтобы первые производные от 5 были равны нулю; но известно, что этого условия недостаточно, чтобы существовал максимум; надо еще, чтобы вторые производные удовлетворяли определенным неравенствам.
Предположим сначала, что мы находимся в условиях п. 319, и будем считать Т заданным.
13 А. Пуанкаре, т. II
194
Новые методы небесной механики. III
Этому решению может соответствовать максимум или минимум функ-
— два решения, очень мало отличающиеся от этого периодического решения.
Я предположу, что х'п у], ж", у" достаточно малы, чтобы можно было пренебречь их квадратами и считать эти количества удовлетворяющими уравнениям в вариациях (ср. главу IV).
Пусть и г(' — значения х\ и у\ при -0; Х\ и У'. — значения .т' и у\ при г=т.
Для того чтобы узнать, имеет ли 5 максимум или минимум, достаточно изучить совокупность членов второй степени в разложении 5 по степеням е: и г,:.
Но легко видеть, что эта совокупность членов сводится к
Согласно п. 56, это выражение должно сводиться к постоянной. Каков вид общего решения уравнений в вариациях?
Если имеется п степеней свободы, мы будем иметь п—1 частных репте-
Величипы ак — характеристические показатели, а 0 — периодические функции с периодом Т.
Мы будем иметь еще п—1 решений вида
ции 5. Пусть
хі = «Р< (0 + *1. У і = ТІ (0 + У\,
хі = (0 + у {= <?; (0 + у <
Изучим выражение
(1)
нии вида
соответствующих показателям —ак, которые равны п—1 показателям ил и противоположны им по знаку.
Периодические решения второго рода
195
Мы будем иметь очевидное решение
т' — ^ — ^1
* ~~ <н ’ у< ~
и, наконец, 2п-е частное решение будет
*;=‘тт+»..
Следовательно, общее решение можно записать в виде
*;=2 * (о+2 в^к1^. * (о+с ф+о (^+ф4) ,
у\=2А^. < (о+2 (о+сШ+° (* ?+фО •
где А, В, С, Б — постоянные интегрирования.
Мы будем иметь также
*;=2 ^еч<0*.* (о+2 в*е^‘0*-- &+с,ж+п,(*ж+ф<)
с аналогичной формулой для у".
Величины Л', В', С', О' — новые постоянные.
Подставим эти значения в выражение (1); это выражение станет билинейной формой относительно двух рядов постоянных
А, в, С, О,
А1, В1, С1, О'.
Так как эта форма должна обращаться тождественно в нуль при Ак = А'к, Вк = В’к, С — С1, /) = />',
то она будет линейной формой относительно определителей, содержащихся в матрице
А в, А* В,2 ? ? Я-1 С и
К в\ К в,; ? ? в^ С' О'
Коэффициенты этой линейной формы должны быть постоянными, поскольку выражение (1) должно приводиться к постоянной.
Вообще говоря, ни один из характеристических показателей не будет нулем и никакие два из этих показателей не будут равны между собой.
13*
Периодические решения второго рода
195
Мы будем иметь очевидное решение
т' — ^ »/ — ^
> йг ’ у< аь
