Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что А'0 и А[ могут играть ту же самую роль, что и А0 и Ау, и что мы приходим снова к первому случаю.
Теория последующих
165
Следовательно, это новое предположение должно быть отброшено.
В итоге две дуги А0АХ и В0В1 будут пересекаться всякий раз, когда по той или иной причине предположения 2 и 4 должны быть отброшены.
Остается изучить случай, когда точки Ах, А0, Вх, В0 следуют на кривой К в другом порядке. Порядки В^ВъА^а, В^В^ъА^ Л0Л1Б051 не отличаются существенным образом от того, который мы только что изучили.
Такие порядки, как АхВхВаА0, АхВйВхА0, А^^А^В^ . . ., не представятся в последующих приложениях; в самом деле, мы всегда будем предполагать, что если р — очень мало, то расстояния А0АХ и В0В1 будут очень малы по сравнению с длиной дуг А0МВ0 или АХМВХ.
Остается порядок АхА0ВоВх или эквивалентные порядки; мы также не будем говорить о них; ясно, что если будет иметь место этот порядок, то на дуге А0МВ0 будет существовать точка, являющаяся своей собственной последующей.
309. Предположим, например, что уравнения (1) допускают периодические решения
х — 91 (0> У = Ч *(0. 2 = 'Рз(0 (6)
и асимптотические решения
*=®1(0. У = фг(г)> * = Фз(0- (7)
Предположим, что уравнения (1) зависят от очень малого параметра р и что X, У, Z разложимы по степеням этого параметра.
Предположим, что при р=0 асимптотические решения (7) приводятся к периодическим решениям. Вот каким образом это может произойти. Мы сказали, что Ф( разложимы по степеням Аеа‘, причем коэффициенты будут периодическими функциями от Л Но показатель а зависит от р; предположим, что он обращается в нуль при р=0; тогда при р=0 функции Ф< станут периодическими функциями от t, а решения (7) сведутся к периодическим решениям.
166
Новые методы небесной механики. III
Асимптотическая поверхность пересечет полуплоскость по некоторой кривой С0, проходящей через точку М0 — точку пересечения полуплоскости с пространственной кривой (6).
Кривая С0, очевидно, инвариантна, как я сказал в конце п. 307; при р-0 каждая из точек С0 является своей собственной последующей.
Кроме того, я предположу, что при ?1=0 кривая С0 замкнута.
Обратимся к главе VII тома I; мы видели в п. 107 и следующих, что в случае динамики характеристические показатели разложимы по степеням ^ц и притом попарно равны и противоположны по знаку. Мы предположим, что имеет место этот случай.
Тогда мы имеем в действительности две асимптотические поверхности, соответствующие двум равным и противоположным по знаку показателям а и —а; следовательно, мы имеем две кривые С0, которые пересекутся в точке М0.
Будем различать четыре ветви кривой
С' Л" Л' л"
О» ^0» ^1» ^1»
сходящиеся в точке М0\ С'д и С"а будут соответствовать показателю а, С[ и С'[ — показателю — а.
Эти различные ветви кривой представлены на рис. 6. Ветвью С’0 является ветвь М0Р0Р1А0А1, ветвью С"0 — ветвь М0Е0Е^ ветвью С' является ветвь и ветвью С'[ — ветвь Л/0Д17?о51.Во.
Эти четыре ветви кривой, очевидно, инвариантны.
Рис. 5 Рис. 6
Теперь, при р.=0, С'0 сливается с С[, С" — с С", и (если мы предположим, что при ?1=0 кривая С0, которую мы назовем тогда С^, замкнута) эти четыре ветви кривой совпадут с замкнутой кривой С%.
Отсюда можно заключить, что для очень малого ц эти ветви кривой будут мало отличаться друг от друга; что С'а будет мало отличаться от С[ш, С" — от С[ и что если достаточно продолжить кривую С'0, то она пройдет очень близко от С[, если и ее достаточно продолжить.
Теория последующих
167
Я отметил на рисунке различные точки этих ветвей кривой и их последующие. Так, Ах, Вх, Ех, Рх, (?х, Их суть соответственно последующие точек Лд, В0, Е0, Во, <?„, Во.
ЛТы отметим сначала, что точки Ах, А0, Вх, В0 следуют одна за другой (как мы предположили в начале п. 308) в порядке АхАоВхВ0, если обходить ипвариантную кривую, образованную двумя ветвями Сд и С", от Ах к В0.
Ута инвариантная кривая не замкнута, но она мало отличается от замкнутой кривой С®.
Рассмотрим пять предположений п. 308 относительно этой инвариантной кривой. Первое предположение, как мы видели, всегда следует отбрасывать. Второе также не будет иметь места. В самом деле, оно могло бы осуществиться лишь в том случае, если бы асимптотическая поверхность (7) имела линию, состоящую из двойных точек.
Мы сказали, что разложимы по степеням Ае*‘\ итак, пусть
ф, = ф° + Аея,Ф\ + А2е^* Ф? +_____
Если бы наша поверхность имела линию двойных точек, то эта линия должна была бы удовлетворять уравнениям (1); действительно, асимптотическая поверхность порождена бесконечным числом линий, удовлетворяющих этим уравнениям, так что если два куска этой поверхности пересекаются, то пересечение не может быть не чем иным, как одной из этих линий.
Так как Ф< зависит одновременно от времени 4 и от параметра А, то мы подчеркиваем это, записывая
ф, = ф,(*, А).
Если бы существовала линия двойных точек, то мы должны были бы иметь три тождества:
Ф, (*, 4) = Ф, (*\ В) ({ = 1,2,3),
где А и В — две постоянные и где V — функция от Ь\ эти три тождества должны существовать, каково бы ни было I.
