Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 51

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 111 >> Следующая

Построим функцию Б, разложимую по степеням у/р так, что
Что касается Бр, то это периодическая функция с периодом 2 я относительно у2 и с периодом 4я по у[.
Далее мы имеем
Уравнение (4) является уравнением асимптотической поверхности. Если бы ряд Б сходился, то из периодичности Бр следовало, что кривые должны быть замкнуты, а две точки А0 и В0 совпали бы. Но это не так (см. п. 225 и след.).
Что же означает тогда уравнение (4)? Оно может быть верным только с формальной точки зрения, т. е. если есть сумма р+1 первых членов ряда 5 так, что
р
(4)
Р
2^ = о + Vи-*5,1 -+- + р 2
то уравнение
(41нз)
ри-
будет верным с точностью до величин порядка р 2 .
Теория последующих
177
Если мы предположим, что эксцентриситет очень мал, то L и G будут очень мало отличаться по абсолютной величине; следовательно, одно из двух количеств х1 и х2 очень малб.
Я замечаю, кроме того, что равенства
L - \]а, G ~ \]а (1 — е2)
показывают, что G всегда меньше L по абсолютной величине. Следовательно, хг и х2 существенно положительны.
Предположим, что хг очень мало; функция F1 будет функцией а и I + g — t, разложимой, кроме того, по степеням е cos g и е sin g. Следовательно, она будет также функцией х2 и у2, разложимой, кроме того, по степеням
\Jx1 cos у1 и \]х± sin yv
Она будет периодической с периодом 2к как по ylt так и по у2.
Если, наоборот, х2 очень мало, то функция F1 будет функцией х2 и ylt разложимой, кроме того, по степеням
\lx2cosy2 и \/a:2siny2.
Но мы предполагаем, что четыре переменные х и у связаны уравнением живых сил
F = С;
это уравнение приближенно приводится к
F0 = C.
Построим кривую F0=C, принимая хг и х2 в качестве координат точки на плоскости.
Уравнение это можно записать в виде
(xi + ж2)2 (2С + хг — х2) = 4.
Эта кривая имеет две асимптоты
x1 -J- х2 — 0, х2 — хх = 2С
и симметрична относительно первой из этих двух асимптот.
Но важно заметить, что единственная часть кривой, которая нам полезна, расположена в первом квадранте
хг >0, х2 > 0.
В зависимости от значений С кривая может представлять одну из форм, изображенных на рис. 8 и 9.
Оси координат представлены штрих-пунктиром, асимптоты и полезные части кривой — сплошной линией, ненужные части кривой — пунктирной линией.
12 А. Пуанкаре, т. П
178
Новые методы небесной механики. Ill
Предположим, что С дано такое значение, что кривая имеет форму, представленную рис. 9, и что она содержит две полезные дуги АВ и CD. При этом рассмотрим только дугу АВ.
Заметим, что при обходе дуги АВ хх монотонно убывает от О А до нуля, х2 монотонно возрастает от нуля до OB, a xjxl монотонно возрастает от нуля до +оо.
Если мы построим теперь кривую F—C, считая у1 и у2 постоянными, а хх и х2 — координатами точки на плоскости, то кривая будет мало отличаться от Fq=C, и мы сможем снова представлять ее на рис. 9; она будет иметь полезную дугу АВ, и при обходе этой дуги отношение хг!хх будет монотонно возрастать от нуля до +оо.
Так мы приходим к следующему способу геометрического представления: представим положение системы точкой, прямоугольные координаты которой есть
^аг2созу2 ^а:2 siri
V,i2 + /'2Ti — 2v'ar1cosy1 ’ — 2 x1 cos ’
2 \/х1 sin yi V^r2-)-4a:] — 2^a:1cos{/1
эти три функции разложимы по степеням \1хг cos у, и \jx1 sin yv если X,
очень мало, и по степеням \jx2 cos у2 и \]х2 sin у2, если х2 очень мало. Они зависят только от отношения xjx2.
Каждой системе значений уг и у2 и каждой точке полезной дуги АВ соответствует, таким образом, одна и только одна точка пространства.
Функциональный определитель от трех координат относительно уг, уг и отношения \JxJx2 всегда сохраняет один и тот же знак.
Следовательно, мы можем применить результаты предыдущего пункта внутри всей области D, где п2 не обращается в нуль.
Теория последующих
179
Но п2 обращается в нуль при хх-\-х2=2.
Однако если хх-\-х3—2, хх > О, хг > 0, то мы, очевидно, будем иметь
2 , ^ „ 2 ? —|— хх 3
(гі ~Ь ^г)2 ^ (^і ~Ь ^г)2 ^ ^
Но левая часть этого равенства есть ^0, а строя кривую /?0=С, мы предположили, что имеют место условия случая, соответствующего рис. 9; в случае же рис. 9 предполагается, что
Поскольку Fо очень мало отличается от F и, следовательно, от С, то мы не можем иметь одновременно
С> -§, г< 4
(если только С не очень близко к своему пределу 3/2, чего мы не предполагаем).
Следовательно, при наших условиях мы не будем иметь /г2=0.
Итак, результаты предыдущего пункта применимы, и если построить асимптотические поверхности и рассмотреть пересечение этих поверхностей с полуплоскостью у2=0, то две дуги, аналогичные дугам, названным нами выше AqA5 и BqB5, пересекаются.
Я добавлю еще несколько слов.
Координаты третьего тела относительно большой и малой оси описываемого им эллипса согласно известной формуле суть
Ьг (cos Z+. . .),
LG (sin Z-K ? •)•
Таким образом, мы видим, что когда G меняет знак, вторая из этих координат меняет знак.
Отсюда вытекает, что возмущаемая планета обращается в том же направлении, что и возмущающая планета, если G положительно, и в противоположном направлении, если G отрицательно.
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed