Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 48

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 111 >> Следующая

Дифференцируя, будем иметь
6Ф{_6Ф{6Г 61 Й?' 61 '
По в силу уравнений (1) мы будем иметь
^ = Х[Ф1(«,Л), Ф2(1,А), Ф3(*, А)]
и также
<?р = Х\Ф1Ц', В), Ф,(*', В), Ф., (I1, В)I,
168
Новые методы небесной механики. III
откуда
йФ,- ,
(И ’ йГ • <И ’
откуда, наконец,
С = 1 + 1,,
где К — постоянная.
Отсюда мы выводим, что
Ф? (*) + Ле°*Ф| (*) + А2еЫФ* (г) + ... = Ф° (* + к) + Се“'Ф} (г + /г) + . ..,
где
С = Ве*к.
Это тождество должно быть справедливым при ?=— со, откуда
Ае*‘ = Се*1 = О
фо(0 = Ф»(г + А),
откуда й=0 и
Ф° (0 + Аеа‘Ф] (г) + ... = Ф° (0 + Се5'Ф’ (0 + ...,
или
ЛФ1 (г) + л2ев,ф2 (I) + ... = СФ] (г) + сге“'ф? (О + ? ? ?,
или, полагая снова 2= — со,
А = С = В.
Если оба значения А я В равны, то линии двойных точек не существует, что и требовалось доказать.
Третье предположение — то, которое следует принять.
Перейдем к четвертому; для того чтобы посмотреть, должно ли оно быть отброшено, необходимо постараться дать себе отчет о порядке величины расстояний АгА0 и А0В0] это мы и сделаем в различных приложениях, которые последуют в дальнейшем.
Наконец, пятое предположение всегда сводится к первому, как мы это видели.
Обобщение предыдущих результатов
310. Выше мы сделали об уравнениях (1) очень частные предположения, но не все они одинаково необходимы.
В самом деле, рассмотрим односвязную область Б, составляющую часть полуплоскости (г/=0, х >? 0), и предположим, что мы каким-то образом узнали, что если точка (г, у, г) находится в начальный момент времени в точке М0 этой области, то ш переходит от 0 к 2я, постоянно возрастая,
Теория последующих

когда I возрастает от 0 до так что кривая, удовлетворяющая уравнениям (1) и проходящая через точку М0, при ее продолжении от этой точки М0 до ее нового пересечения с полуплоскостью никогда не будет касаться плоскости, проходящей через ось г.
Тогда мы сможем определить, как и в п. 305, последующую точки М0, и ясно, что все предыдущее будет снова применимо к фигурам, находящимся внутри области Б.
Кривые, удовлетворяющие уравнениям (1) и пересекающие полуплоскость вне области Б, пе обязаны подчиняться требованию не соприкасаться с плоскостью, проходящей через ось г. Также не обязательно, чтобы х=у=0 было решением уравнений (1).
Тогда если С0 — замкнутая кривая внутри Б и если Сг — ее последующая, то обе кривые будут внешними относительно друг друга или пересекаться.
Результаты п. 308 будут равным образом применимы к инвариантным кривым, не выходящим из области Б\ и если даже инвариантная кривая выходит из области Б при ее достаточном продолжении, то результаты будут снова приложимы к той части этой кривой, которая лежит внутри этой области.
311. Рассмотрим теперь вместо плоской области Б односвязную криволинейную область 5. Проведем через точку М0 этой криволинейной области кривую 7, удовлетворяющую уравнениям (1), и продолжим эту кривую до тех пор, пока она снова не пересечет 5; новая точка пересечения М1 может быть опять названа последующей точки М0.
Если мы рассмотрим две точки М0 и М'в, очень близкие друг к другу, то их последующие будут, вообще, очень близки друг к другу; исключение будет иметь место, если точка Мг окажется на границе 5 или если кривая у касается поверхности в точке Мх или в точке М0. Кроме этих исключительных случаев, координаты Мг являются аналитическими функциями координат точки М0.
Чтобы избежать этих исключительных случаев, я рассмотрю область Б, составляющую часть ?, и такую, что кривая 7, выходящая из точки М0. внутри Б, снова пересекает 5 в точке Мг, которая никогда не попадает на границу 5; такую также, что кривая 7 не касается 5 ни в точке М0, ни в М1ш Наконец, я предположу, что область Б односвязна.
Примем частную систему координат, которую я назову, например, ?, ?| и ? и о которой я предположу только следующее.
1. Когда |?| и |т;] будут меньше 1, прямоугольные координаты х, у и г будут аналитическими и однозначными функциями от 5, т\ и С, периодическими с периодом 2л относительно С.
2. Одной точке (х, у, г) пространства не может соответствовать более одной системы значений ?, т], ?, такой, что,
|Е|< 1, Ы < 1. 0<С<2тг.
Повые методы небесной механики. III
3. При С=0 или С=2ч и изменении ? и г, от —1 до +1 точка х, у, г описывает поверхность S или часть этой поверхности, заключающую в себе область Б.
4. Из условий (1) и (2) вытекает, что функциональный определитель Л от ?, т), С относительно х, у, z никогда не обращается ни в бесконечность, ни в нуль, когда выполняются неравенства (7).
5. Можно преобразовать уравнения (1), приведя их к виду
в = Е' ?=я- в = 2'- (,bis>
Я Предположу, что Z* остается положительным для
m<i, hi<i. с=о.
Уравнения (Ibis) будут допускать интегральный инвариант
j
а уравнения
d? Е йт, II «г; , /01. .
йс z*1 й'“ z*' )
будут допускать интегральный инвариант
5^д<*т]<гс.
Пусть /’о — какая-нибудь фигура, составляющая часть Б, и ^, — ее последующая; предположим, что различные точки Р0 и смещаются таким образом, что ? и т) остаются постоянными и что С возрастает от О до е, где е — очень малб; фигура Р0 породит объем Ф0, а фигура — объем Ф1; интеграл
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed