Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
12*
Глава XXVIII ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВТОРОГО РОДА
314. Рассмотрим систему уравнений
§- = Х, (1 = 1,2.........п), (1)
где Х( — функции от хи х2, . . ., хя и 4, периодические с периодом Т относительно 4.
Пусть
х{ = «р, (4) (2)
— периодическое решение с периодом Т уравнений (1).
Мы сейчас посмотрим, допускают ли уравнения (1) другие периодические решения, близкие к (2), период которых кратен Т.
Эти решения, если они существуют, будут называться периодическими решениями второго рода.
Рассмотрим решение уравнений (1), очень близкое к (2). Пусть
?< (0) +
— значение х. при 4=0 и
ТЛ0) + Р, + Ф, = ?*(*Г) + Р< + Ф<
— значение х. при 4=йГ (к — целое).
Величины (3; и ф,., определение которых, таким образом, то же, что и в главе III, будут очень малы, и, как в главе III, мы увидим, что ф — функции от р, разложимые по возрастающим степеням р.
Для того чтобы решение было периодическим с периодом кТ, необходимо и достаточно, чтобы было
Фх = Ф* = =ф, = 0. (3)
Так как у. (4) — периодические функции, то ф обращаются в нуль вместе с р.
Предположим, что функции Х^, фигурирующие в уравнениях (1), зависят от некоторого параметра р. Тогда функции у. (4) будут зависеть не
Периодические решения второго рода
181
только от г, но и от р; относительно 2 они будут периодическими с периодом Т, где Т — постоянная, не зависящая от р.
При этих условиях функции ф, определение которых остается тем же самым, будут зависеть не только от [3, но и от р. Если мы будем считать
Рт. Р*. ? ? •. Р.. Р
координатами точки в пространстве и-)-1 измерений, то уравнения (3) представят кривую в этом пространстве. Каждой точке этой кривой будет соответствовать периодическое решение с периодом кТ.
Поскольку все ф обращаются в нуль, когда все величины |3 одновременно обращаются в нуль, то эта кривая будет содержать прямую
(4)
Различным точкам этой прямой будет соответствовать решение (2), которое, будучи периодическим решением с периодом Т, является периодическим решением с периодом кТ.
Но мы должны поставить вопрос, существуют ли другие периодические решения, близкие к первому, или, другими словами, содержит ли кривая (3), кроме прямой (4), другие ветви кривой, приближающиеся очень близко к прямой (4)?
Другими словами, имеются ли точки прямой (4), через которые проходят ветви кривой (3), отличные от этой прямой?
Пусть
?1 ~ Рг ~ ? ? • = = О, Р —
— точка Р прямой (4).
Для того чтобы через точку Р проходило несколько ветвей кривой, необходимо, чтобы в этой точке Р функциональный определитель, или якобиан, величин ф относительно (3 обращался в нуль.
Как мы увидим дальше, это условие не является достаточным для того, чтобы через точку Р проходило несколько действительных ветвей кривой.
Составим определитель от величин ф по р, прибавим — 5 ко всем членам на главной диагонали и приравняем полученный таким образом определитель нулю. Мы получим уравнение, известное под названием 8-уравнения.
Корни этого уравнения (см. п. 60) суть
е*“г—1,
где а — один из характеристических показателей уравнения (1).
Для того чтобы функциональный определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы один из корней был равен нулю; следовательно, необходимо иметь
е*“г= 1,
что означает, что каТ есть кратное 22тт.
182
Новые методы небесной механики. III
Итак, чтобы через точку Р проходило несколько ветвей кривой, необходимо, чтобы один из характеристических показателей был кратным 21 п/кТ.
315. Это условие не достаточно, и требуется более полное исследование. Положим
К- = К-о + х
и попытаемся разложить величины р по целым или дробным степеням X.
Мы предполагаем, что якобиан величин ф относительно р равен нулю; этот якобиан обращается в нуль при Х=0, но вообще не будет тождественным нулем; для этого необходимо было бы, чтобы один из характеристических показателей был постоянным, не зависящим от р и равным кратному 2 Ьп/кТ.
Следовательно, мы предположим, что якобиан обращается в нуль при Х=0, но что его производная по X в нуль не обращается.
Мы также предположим сначала, что миноры первого порядка этого якобиана не обращаются в нуль все одновременно.
В этом случае в силу теоремы п. 30 из п — 1 уравнений (3) можно найти п — 1 величин р в виде рядов, расположенных по целым степеням X и п-й величины р, например Ря.
В п-в уравнение (3) подставим значения
?1» ?2> ' ' 1 > Р*-1>
найденные таким образом. Левая часть этого гс-го уравнения окажется, таким образом, разложенной по степеням X и Рм; запишем ее в форме
в(х, & = о.
Я замечаю сначала, что В должно делиться на Рв, так как прямая (4) должна составлять часть кривой (3).
С другой стороны, производная 0 по Рп должна обратиться в нуль при X—0, поскольку якобиан обращается в нуль. При Х=0 В не содержит, следовательно, члена первой степени; предположим, что она также не содержит членов второй, . . ., (р—1)-й степени, но содержит член степени р.
Наконец, так как производная якобиана по X не обращается в нуль, то мы будем иметь член С ХРЯ.
Таким образом, я могу написать
0 = лхр,+дрг + с,
