Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Центры и оси линий (С). Мы будем называть осью ось симметрии линии (С). Если О — центр линии (C)1 то всякая точка т', симметричная точке т линии (С), будет также лежать на линии (С) и, значит, точка О гармонически сопряжена с бесконечно удаленной точкой прямой mm' относительно точек т и т'. Значит, точка О есть перспектива точки O1 плоскости (P1), сопряженной относительно (Гх) с любой точкой (G1), иначе O1 — полюс прямой (G) относительно (Гх). Поэтому если (G1) не касается (P1), то (С) имеет и притом только один центр О (на конечном расстоянии). В противном случае линия (С) не имеет центра (на конечном расстоянии). Для того чтобы прямая (А) была осью (С), необходимо и достаточно, чтобы она несла на себе геометрическое место середин со хорд тп, перпендикулярных (А); в этом (и только в этом) случае угол (SIx, SJx) прямой (см. черт. 282). Точки Ix и Jx прямой (G1) сопряжены относительно (Pi), а потому сферы с диаметром IxJx входят в пучок (Ф) сфер, центры которых расположены на прямой (G1) и которые ортогональны окружности (P1).
Исследование. Г. S не лежит на базисной окружности (T0) пучка (Ф). В этом случае только одна сфера из пучка (Ф) проходит через 5 и определяет две оси линии (С).
а) (G1) не пересекает (P1). Линия (С) — эллиптического типа; она имеет две взаимно-перпендикулярные оси, каждая из которых пересекает линию (С) в двух точках, симметрично расположенных относительно О.
б) (G1) пересекает (P1) в двух точках (черт. 283). В этом случае (С) —линия гиперболического типа; она имеет две оси симметрии, и лишь одна из них пересекает линию (С) в двух точках, симметрично расположенных относительно О.
в) (G1) касается (P1) (см. черт. 284). В этом случае (С) — линия параболического типа; она имеет лишь одну ось симметрии (на конечном расстоянии), которая пересекает линию (С) в единственной точке, расположенной на конечном расстоянии.
Черт. 284.
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ 693
2°. S лежит на базисной окружности пучка (Ф). Всякий диаметр (С), проходящий через (О), будет тогда осью (С); линия (С) будет поэтому окружностью. Это можно показать и иначе: так как базисная окружность (P0) существует, то (G1) не пересекает (Г]). Сфера (s), проходящая через (P1) и S, ортогональна (P0) и плоскость (П) касается в точке S сферы (s). Плоскость (P), параллельная (77), получается из сферы (s) инверсией с полюсом S; она пересекает конус с вершиной (S) и основанием (P1) по линии (С), являющейся образом (Fi) в указанной инверсии. Поэтому линия (С) — также окружность.
3°. Полюсы "и поляры относительно линии (С). Рассмотрим в плоскости (P1) точку Mx и ее поляру (D1) относительно окружности (Fi) и пусть M и (D) — перспективы Mi и (D1). Всякая секущая (А/) линии (С), проходящая через (M) и пересекающая (D) в точках Pi и 0/, пересекает (D) в точке A^ (конечной или бесконечно удаленной). Четверка точек MNtPtQi— гармоническая, так как она является проекцией гармонической четверки точек. Мы можем определить поэтому прямую (D) по отношению к M двумя точками: A^1 и N2, гармонически сопряженными с M относительно точек пересечения с (С) двух секущих: (A1) и (A2), проходящих через М. Это определение уже не зависит от перспективы, а является инвариантным построением, относящимся исключительно к линии (С), точке M и данной прямой (D).
II. Теорема Паскаля для линии (С).
Г. Линия (С) есть окружность (Г), две хорды которой: AB' и BA' — имеют частное расположение. Исключим тривиальный случай, когда AB' и BA' пересекаются в точке R1 лежащей на окружности (F); в самом деле, если, например, точки А' и В' совпадают с некоторой точкой R окружности (F), то эта точка, очевидно, расположена на одной прямой, которая проходит через точку P пересечения ВС и CB' и через точку Q — точку пересечения AC и CA'.
а) AB' и BA' параллельны. Используя равенство (по модулю п) между ориентированными углами от прямой до прямой (неориентированных) и используя те из них, которые характеризуют вписанные четырехугольники, будем иметь:
{ВС, AC) = (BB', AB'), (В'С, А'С) = (B'В, А'В). Но 2(BB', AB') = BA,
2 (B'В, А'В) = В'A' (mod 2к). Так как AB' и BA' параллельны, то BA=B'A' (mod 2к). Следовательно, (ВС, AC') = (В'С, А'С) и, значит, (CP, CQ) = (CP, CQ). Если P—бесконечно удаленная точка, то CP и CP параллельны; следовательно, CQ и CQ также параллельны, а Р, Q, R лежат на одной бесконечно удаленной прямой плоскости (P). В противном случае CCPQ — вписанный четырехугольник и потому (PQ, PC) = (CQ, С С). Но (CQ, CC) = (С A, CC) = (B'А, В'С) = (B'A, PC). Следовательно, (PQ, PC) = (B'A, PC) и, значит, PQ || В'А, а потому проходит через R.
б) AB' и BA' пересекаются в центре R окружности (Г). Пусть M и N-— точки, в которых пересекаются AC, CB' и А'С, ВС. Тогда 2 (CM, CN) =
= 2 (СA, CB) = АВ = B7A' = 2 (CB', CA') = 2 (CM, CN) (mod 2%). Если M — бесконечно удаленная точка, то CM и CM параллельны; следовательно, CN и CN также параллельны, PCQC — параллелограмм, противоположные вершины PnQ которого лежат на одной прямой с серединой R отрезка CC (AC и В'С параллельны). В противном случае CCMN вписан в окружность, назовем ее (Гг). Имеем
