Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
~а PH
тельно (F) равна: р = PM-PMx= PM - а'а. С другой стороны,
A'A PM
и В'B = PH, откуда A'A = ~^гіГ[ и> следовательно, р = IPH2, где I =
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
699
Обратно: предположим, что р = IPH2, пусть PM вторично пересекает (E) в точке Q и пусть К — проекция Q на (D); тогда PM •PM1 = IPH2, QM •QM1 = XQK2,
откуда
PM PM1
PH2
Но _______ =
QM
PH
значит,
РМ,
PM
поэтому
QM QM1 QK2 QM QK QM1 QM
точки PnQ совпадают. Таким образом, (E) есть геометрическое место точек P таких, что р = XPH2. Перейдем теперь к окружностям С (P). Если X > 0, то е > 1 и, значит, (E) — гипербола. Если P — точка (E), служащая центром окружности С (P), проходящей через Q, то она имеет одинаковую степень относительно (Г) и относительно точки Q. Значит, точка P есть точка пересечения (E) с радикальной осью окружности (Г) и точки Q. Значит, имеется две окружности С (P), действительные или мнимые, различные или совпадающие, проходящие через точку Q.
Исследование. Радикальная ось (R) окружности (Г) и' точки Q или не пересекает (Г) [если Q не лежит на (Г)], или касается (Г), если Q лежит на (Г). Гипербола (E) касается (Г) в точках M и M', а так как MM' параллельна фокальной оси FF', то точки, внешние для отрезка MM', будут внутренними точками гиперболы (E). Если точка Q отлична от Af и M', то (R) пересекает MM' в точке, внутренней для (E), а потому пересекает (E) в двух точках; значит, существуют две различные действительные окружности С (P), проходящие через Q. Если же Q совпадает с Al или M', то (R) касается (F) в этой точке и искомая окружность («двойная») вырождается в эту точку (M или M').
Стереометрия. А. 1°. Пусть (тс') — плоскость, параллельная (D) и проходящая через (Д), OF- общий перпендикуляр к (D) и (Д) [Р-на (D), О —на (Д)] и (тс) — плоскость, проходящая через OF и перпендикулярная (D). Проекция на плоскость (тс) прямой (Д) есть прямая (Д'), по которой пересекаются плоскости (тс) и (тс'); точки P9 H и К, лежащие на одной прямой, проектируются в точки А [на (Д')], F к В; сфера S (P) проектируется в окружность (F) с центром А и радиусом kAF; точки FuB сопряжены относительно (F), и на основании результатов, полученных в первой части (планиметрия), точка К лежит в плоскости (со), полученной из (тс') в результате гомотетии (F, —k2). Далее, в проекции на плоскость (тс') прямая (D) проектируется в прямую (D'), перпендикулярную (Д'), а точки P9 H и К—-в точки P9 H [на (D')] и К'. Из подобия треугольников РККГ PK PK
(A) 0Mx
Черт. 291.
и PHHl следует ЇЇК'
и, значит,
и (Д), то
Н'Р
Н'Р
PH' PH г= 1 —- k2. Если а
Но PK-PH = U2PH2; следовательно, PK = k2- PH'
-угол, дополняющий до 90° угол между (D)
ОН'
= Ctg а и
Н'К
ОН'
= (1 — k2) ctg а. Геометрическое место точки К
есть, следовательно, прямая (L), лежащая в плоскости (со), пересекающая OF и образующая с прямой (D) дополнительный угол (до 90°), который определяется
соотношением tg?=3 ^ ^
2°. Сферы S(P) и S(P1) ортогональны сфере (I), проходящей через К* Н, H1 и Ki- Поэтому центр сферы (2) лежит на радикальной плоскости сфер S(P) и S(P1). Но он должен лежать в плоскостях-медиатрисах отрезков ///Z1 и КК\, а так как эти плоскости пересекаются по прямой (/), перпендикулярной PP1, следовательно, параллельной или лежащей на радикальной плоскости сфер S (P) и S (Pi), то прямая (/) непременно лежит в указанной радикальной плоскости.
3°. Плоскость-медиатриса отрезка HHx, параллельная PH и PiZZ1, пересекает отрезок KKi в его середине Z. Радикальная плоскость сфер S(P) и S(Pi) содержит I, так как эта точка лежит, конечно, и на медиатрисе PZC1 (см. 2°); но точка Z — переменная точка прямой (L); значит, чтобы радикальная Плоскость сфер S(P) и S(P1) была фиксирована, необходимо, чтобы она проходила через (L); значит, прямая (L) должна быть ортогональна (Д). Это условие и достаточно, так как если оно выполнено, то плоскость (О, L), перпендикулярная (Д) и содержащая прямую, общую плоскостям-медиатрисам отрезков HHx и KKx, является радикальной плоскостью сфер S(P) и S(Px). Таким образом, искомое частное значение
р = а -\- — , откуда ^ ^ a-j =--и, значит, k0 *
1-«
Ig а
cos а
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
Докажем теперь, что если k Ф k0, то сферы Sk (P) вписаны в поверхность вращения с осью (Д). самом деле, если k = k0, то сферы Sko(P) принадлежат пучку сфер, радикальной плоскостью (тс0) которых является плоскость (тс0), перпендикулярная в точке О прямой (Д); базисной окружностью является окружность (Г0) пересечения плоскости (тс0) со сферой Sk, (О), с центром О и радиусом kQ • OF. Произвольная плоскость, проходящая через (Д), пересекает Sk (P) по окружности (F) с центром P и радиусом R = k- PH1 а окружность (F0) — в точках ср и ср', расположенных на перпендикуляре в точке О к (Д) и таких, что
k
Оср • Оср' = k0 • OF. Но Pep = R = k0PH. Следовательно, R = — Pep, и на основании
