Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ad
и T. Точки же Г и Г' существуют тогда и только тогда, когда dD < Id , или Ad dD AJ . тп
-у-р > -J-T =-JT , ГДЄ J—ТОЧКа Пересечения JC С ПерПеНДИКуЛЯрОМ K XX IJ\ ICL IA
в точке А.
Исследование, а) (С) —линия эллиптического типа (черт. 287). Пусть О — центр (C)1 В — одна из точек его оси, перпендикулярной х'х. Положим OA = а,
OB = b, Od = X1 dD = у. Тогда Od • OI = х - 01 = а2 и — = %~~а = =
у у OI—X а2— X2
= —?— Ad = а — X и Ad > AJ, если а2 — х2 > ау. При х = О, у = b и если а > Ьу а + Xі
то а2 — X2 = а2 > ab = ay. Это возможно в том случае, когда за ось х'х взять ту, на которой лежит большая ось AA'. Таким образом, можно построить по крайней мере один конус вращения, на котором лежит линия (С); линия (С) в этом слу-
X2 V2
чае — эллипс. Его уравнение '^" + "р"^1' и К0нус можно построить, если 1 —
X2 у2 у Ь2
a2 b2 а а
б) (С) —линия гиперболического типа (черт. 288). В этом случае хгх — та ось, которая пересекает (С) в двух точках: А и А'. Применяя аналогичные обозначения и обозначая еще через а половину угла между прямыми ОТ и ОТ' [см. I,
(T')
г' A,
6
?
(Г)
Черт. 288.
d X
Черт. 289.
Г, б)], будем иметь: Ad > AJ1 если х2 — а2 :
у
вается, то — стремится к tga и трехчлен X2-
ау. Если X неограниченно увеличи-- ах tg а — а2 становится положительным. Можно, таким образом, и в этом случае построить конус вращения, на котором будет лежать линия (С); линия (С) в этом случае — гипербола. Построение Ъ2
возможно, если у >-.
а
в) (С) линия параболического типа (черт. 289). Пусть Z—точка, симметричная d относительно А. Положим Ad = х, dD = у; Ad > AJ1 если 2х > у, что может
у
быть выполнено, так как ~ стремится к нулю при неограниченном возрастании х.
Таким образом, и в этом случае построение конуса вращения, проходящего через (C)1 возможно; линия (С) — парабола; ее уравнение у2 = 2рх. Условие возможности построения конуса 2х > р.
2°. II. Построение точек и касательных к линии второго порядка, определенной базисной окружностью и базисной прямой.
а) Пусть (с) и (L) — базисная окружность и базисная прямая линии (С). Возьмем на окружности (с) произвольную точку M1 не лежащую на фокальной оси, т. е. на прямой, проходящей через F перпендикулярно (L). Касательная к (с) в точке m пересекает (L)
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ 697
в точке Т, а перпендикуляр к Fm в точке F пересекает директрису (А), соответствующую фокусу F в точке Т; пусть, наконец, прямая TT пересекает Fm в точке М.
Отношение расстояний от точки M до Fn и до (А) равно отношению расстояний от точки T до прямой FT и до (А); это отношение, следовательно, равно ^s-,
Z А
т. е. е. Поэтому точка M лежит на данной линии (С); более того: так как отрезок MT виден из фокуса F под прямым углом, то TT — касательная к (С) в точке М. Мы получаем, таким образом, способ построения любого числа точек и касательных к линии (С).
б) 1°. Пусть z и (j. — точки пересечения с (L) прямых FT и FM; так как TF = Fz, то пучок с вершиной T(L, TT; TFt Tm) гармонический; следовательно, M гармонически сопряжена с точкой р относительно пары (m, F).
2°. Проведем через F прямую (L0)W(L); она пересекает TM и Tm соответственно в точках M0 и т0, и на основании предыдущего замечания FM0 = М0т0 или Fm0 = 2FM0. Проведем через F прямую, параллельную TT, и пусть она пересекает Tm в точке /; тогда T — середина Im0; следовательно, точка / лежит на прямой (Ь), симметричной (L0) относительно (L). Прямая FI\\ TT, и мы видим, как это удобно использовать для построения касательных к линии второго порядка, параллельных данной прямой (зная /, находим т, затем M — как гармонически сопряженную С (x и т. д.).
IV. а) Проведем через F прямую (L0)W(L) и предположим, что прямая (D) пересекает (L) и (L0) соответственно в точках T и M0; прямая (d), гомологичная (D), проходит через точку T и точку т0 прямой (L0) такую, что Fm0 = 2FM0. Если (d) пересекает (с) в точках т и т', то (D) пересекает (С) в точках M и ЛГ, гомологичных т и т'. Исследование тривиально.
б) Пусть р — точка, гомологичная Р; предположим, что точка р лежит вне (с), и пусть рт и рт' — касательные, проведенные из р к (с); если M и M' — точки, гомологичные точкам т и т', то PM и PM'—искомые касательные.
Отметим, что из чертежа немедленно следует, что (F$A^FP) = (FP^F^) (первая теорема Понселе).
V. Тип линии второго порядка определяется ее эксцентриситетом. Однако можно определить тип линии по числу общих точек этой линии с бесконечно удаленной прямой, иначе говоря — по числу общих точек, которые имеют базисная окружность (с) и прямая (Ь). Таким образом:
если (Ь) не пересекает (с), то (С) — эллипс; если (Ь) касается (с), то (С) — парабола; если (5) пересекает (с), то (С) — гипербола.
VI. Построим прямую (5). Она пересекает окружность (с) в двух точках: а и ?; образы этих точек будут бесконечно удаленными точками линии (С), т. е. Fol и F$ будут иметь асимптотические направления. Все прямые, параллельные (D), будут иметь гомологичными прямые (d) пучка с центром /, в котором прямая FlW(D) пересекает (Ь). Касательная к гиперболе, параллельная (D), будет образом касательной к окружности (с), проведенной из точки /. Отсюда следует, что если прямая, проходящая через F параллельно (D), пересекает (5) в точке /, лежащей внутри отрезка a?, то касательных к гиперболе, параллельных (D), не существует. Если же точка / лежит вне отрезка a?, то из точки / можно провести к окружности (с) две касательные: Im и Im'. Прямые, им гомологичные, будут касательными к гиперболе, параллельными данной прямой; эти касательные легко строятся (так же, как и точки MnM' прикосновения).
