Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2 (CR, C7C) = iz+ CC (mod 2ъ) и 2 (MC, MC) = 2 (MA, MB') = л + C7C (mod 2тс). Следовательно, (CR, CC) = (MC, MC) и CR — касательная к (F') в точке С. Отсюда следует, что CC — поляра R относительно (F'), которая также ортогональна (F). Значит, PQ — поляра относительно (F') точки H пересечения MN и CC', а так как H лежит на поляре точки R, то ее поляра PQ проходит через R. 2°. Общий случай. Г. Линия (С) есть окружность (Г).
а) AB' и BA' пересекаются в точке R, лежащей вне (Г). В этом случае в плоскости окружности можно взять прямую (G), проходящую через R и не пересекающую (F), затем взять точку S на базисной окружности (P0) пучка (Ф) сфер, центры которых лежат на прямой (G) и которые ортогональны окружности (F). Перспектива (F) из точки S на плоскость (P), параллельную плоскости (S, Q), есть окружность, а перспективы хорд AB' и BA', которые пересекаются в точке R, лежащей на прямой (G), будут две параллельные хорды упомянутой окружности; точки Р, Q и R лежат на одной прямой, так как по доказанному выше их перспективы также лежат на одной прямой.
б) AB' и BA' пересекаются в точке R1 лежащей внутри (Г). В этом случае поляра (G) точки R относительно (F) не пересекает (F). Возьмем точку S на базисной окружности (P0) пучка (Ф) сфер с центрами на (G), которые ортогональны окружности (F). Перспектива (F) из точки S на плоскость (P), параллельную плоскости (S, G), есть окружность, а перспективы хорд AB' и BA' суть диаметры этой окружности; точки Р, Q, R лежат на одной прямой, так как их перспективы лежат по доказанному выше на одной прямой.
2°. Общий случай. Если (С) линия, являющаяся проекцией окружности, то точки Р, Q и R лежат на одной прямой, так как перспективы этих точек лежат по доказанному на одной прямой.
694
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
III. Через пять точек плоскости (P) таких, что никакие три из них не лежат на одной прямой, проходит по крайней мере одна линия (С). Пусть A1 B1 С, D и E — пять точек, лежащих в плоскости (P) и таких, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Обозначим через ] и р точки пересечения DE соответственно с AB и AC1 через Y и Y'— точки, сопряженные 7 относительно пары прямых AB1 DE1 а через ?' и ?"— точки, сопряженные ? относительно пары прямых AC1 DE. Пусть (P1) — окружность, проходящая через точки D и E1 лежащие в плоскости (P1), отличной от (P), и пусть Z1—полюс DE относительно (P1).
1°. Точка Y сопряжена с точками Ix и Y' относительно (P1); следовательно, IxY' — поляра 7 относительно (P1). Пусть S — точка [не расположенная ни в плоскости (P)1 ни в плоскости (P1)], общая для плоскости /iifY' и конуса с вершиной А и основанием (P1). Перспектива (С) на плоскость (P) линии (Pх) из точки S проходит через A1 D и Е. Перспектива 7 есть у, а перспектива IxY' есть YY'- Следовательно, YY' — поляра 7 относительно (C)1 и так как A1 B1 7, Y — гармоническая четверка, то (С) проходит и через В.
2°. Если Z1Z пересекает конус в двух точках: S и .S' (Z — точка пересечения YY' и ?'?")> то ни одна из них не лежит в плоскости (P1), так как в противном случае Z совпадала бы с ?" и Y' (лежащими на DE)1 а В и С лежали бы на одной прямой с точкой А.
Точки S и S' не лежат и в плоскости (P), так как в противном случае 5 (или S') совпадала бы с точкой I1 лежащей или на AD1 или на AE1 и так как плоскости IxAD и IxAE касаются конуса, то прямая Z1Z также касалась бы конуса и не могла бы иметь с ним двух различных общих точек. Перспектива (С) на плоскость (P) окружности (P1) из S (или S') проходит через A1 D и Е\ так как S (или S') лежит в плоскости I1YY'* то (О проходит через В, а так как, кроме того, точка S (или S') лежит в плоскости /i?'(K то (С) проходит через С. Пусть прямая Z1Z пересекает конус в двух точках: S и S'. Точка Z сопряжена с точками ? и 7 относительно (C)1 и, значит, Z есть полюс DE относительно (С); следовательно, Z — перспектива Z1, А — перспектива точки Ax окружности (P1). Так как IxAx пересекает отрезок DE1 то IA пересекает также этот отрезок DE. Обратно: если IA пересекает отрезок DE1 то Z лежит внутри угла DAE1 значит, и внутри конуса; точка Z1 лежит вне окружности (P1), значит, и вне конуса. Следовательно, Z1Z пересекает конус в двух точках. Итак, необходимое и достаточное условие пересечения прямой Z1Z с конусом в двух различных точках, будет то, что прямая IA пересекает отрезок DE.
3°. Уже рассмотренную выше точку Z условимся обозначать так: Z (A1 DE) (для того чтобы напомнить ее построение по данным точкам). Сочетая в различных комбинациях данные пять точек, мы можем получить другие точки, аналогичные точке Z, и не нарушая общности, предположить, что две из данных пяти точек, например В и С, находятся в бесконечности [для этого достаточно спроектировать данные 5 точек из точки S в плоскость (P), параллельную SBC]. Пусть (черт. 285) 2A ?jb' єс V 5jb» °с ~ точки пересечения прямых (AD1 BC)1 (BD1 AC)1 (CD1 AB), (AE1 BC)1 (BE1 AC), (CE1 AB)1 (є ^ и ЬА— бесконечно удаленные точки); фигура As De —параллелограмм, a e,s» и глгс паРаллельны AD и симметричны относи-
