Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Частные случаи. Если точка / совпадает с а, то касательная к (с) в точке a пересекает (L) в точке / и образ а/ есть прямая, проходящая через / параллельно Fa. Эта прямая есть, следовательно, асимптота, поскольку точка, гомологичная точке а, есть бесконечно удаленная точка гиперболы.
Аналогично строится вторая асимптота. Мы получим касательные в вершинах гиперболы, построив образы касательных к (с), параллельных (L).
Точка пересечения асимптот гиперболы есть ее центр. Этот центр можно построить так же, как точку, гомологичную полюсу (Ь), относительно (с) (это годится и для эллипса).
VII. Пространственная интерпретация. Рассмотрим конус вращения с вершиной S. Пусть 0 — угол его образующей с осью. Обозначим через (TI1) плоскость, проходящую через S перпендикулярно оси конуса, через (TI') — секущую плоскость, пересекающую ось конуса в точке Q, плоскость (IT1) по прямой (A1), а конус по линии (С). Какая-нибудь образующая Sm конуса пересекает (TI') в точке M' (лежащей на С); пусть Al1 — проекция M' на (TI1). Пусть, наконец, Ki— общая проекция точек M' и M1 на (Aj); M1M'S = 6; обозначим ^ M1M'K1—угол плоскости (TT) с осью конуса — через а. Из прямоугольных треугольников M1SM'
698
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
и M1K1M' имеем M1S = M1M' tg 6 и M1K1 = M1M1 ig а, откуда = f— = const;
M1S ^ tg 6 = "tga
отсюда следует, что проекция на плоскость (Я^, перпендикулярную оси, конуса вращения в его вершине S сечения (С) этого конуса плоскостью (77'), есть линия второго порядка (C1), для которой S — фокус, а соответствующая этому фокусу директриса есть прямая (A1), по которой пересекаются плоскости (77j) и (77); эксцентриситет этой линии равен отношению тангенсов углов, которые образует ось конуса с его образующей и секущей плоскостью. Пусть теперь (H) — плоскость, симметричная плоскости (FI1) относительно Q; (А) — проекция (A1) на плоскость (П); F— точка пересечения оси конуса с плоскостью (П), (L) — прямая, по которой пересекаются плоскости (FI) и (/7'), и (с) — окружность, по которой плоскость (FI) пересекает конус [т — точка, лежащая на (с)]. Из предыдущего следует, что прямая (L) симметрична (А) относительно F и что проекция (С) линии (С) на плоскость (FI) есть также проекция на эту плоскость линии (C1). Значит,
tg О
f — фокус (С), (А) — соответствующая этому фокусу директриса, е = — эксцентриситет. Следовательно, если р и I — соответственно параметр и модуль линии (С), то X = FH и е = у . Пусть R — радиус окружности (с); из треугольников HFQ
FS . R о tg 6
~^tga, откуда т = 2-^,
FS
и mFS находим R = SF tg О, FH = tg а или I ¦
или R = 21. -V- = 2р. Мы видим, что в плоскости (П) линия (С) получается преобразованием (H) из окружности (с) [базисная прямая (L)]. Таким образом, преобразование (H) есть результат последовательного проведения следующих преобразований:
а) центральное проектирование из центра S, при котором точка т плоскости (П) переходит в точку M' плоскости (77'); б) ортогональное проектирование плоскости (77) на плоскость (П), при котором точка M' переходит в точку М.
3. Планиметрия. Г
AB- AF= XrAF2--е2
1
AF2; отсюда FB ¦¦
и геометрическое место точек В получается
е2
из
е2
гомотетии
U)
А
W
Черт. 290.
(А) в результате
е. В описывает прямую, параллельную (А).
Окружность (FBB') ортогональна (F) и (Г'), ее центр лежит поэтому на радикальной оси этих окружностей, а так как BB' И AA', то эта радикальная ось есть медиатриса отрезка BB'.
2°. Если А' стремится к А на (А), то радикальная ось стремится к прямой (D), проведенной через В перпендикулярно (А). Если 7—полюс (D) относительно (Г), то IF- поляра В относительно (F) и окружность с диаметром IA проходит через F и F'. Для того чтобы (D) пересекала (F) в двух действительных точках, необходимо и достаточно,
A P _
чтобы точка / лежала вне (Г), т. е. AI > —. Но AF2 =
е
-ттл -77 АО „ АО
== АО • Al, и условие принимает вид -д-р < е. Полагая cos а = , имеем cos а < е.
Это неравенство определяет на прямой (А) соответствующий отрезок (в зависимости от значения е). Если А выбрано так, что MnM' действительны, то применяя к четырехугольнику AMFF' теорему Птоломея, получим (в случае е > 1) (черт. 290) 2с • AM -|- AF' • MF = MF' • AF, откуда MF' — MF = 2а и геометрическое место точек M и M' есть гипербола (E) с фокусами P и F' и эксцентриситетом е; касательной в точке M является MI; значит, в точке M этой гиперболы касается и окружность (F). Если е < 1, то (E) — эллипс.
3°. Зафиксируем (Г); тогда прямая (D) также будет фиксирована. Возьмем на (E) произвольную точку P и пусть H—ее проекция на (D) (черт. 291); Р —есть точка прикосновения (E) с окружностью (Г') с центром А'. Радикальная ось (F) и (F') пересекает MP в середине со этого отрезка; пусть прямая MP вторично пересекает (Г) в точке Mx, a (F') — в точке Px; проекции а и а' точек А и А' на MP суть середины отрезков MM1 и PPx, а со есть середина не только MP, но и MxPx, ибо CoM-CoM1 = CoP-o)P1, откуда CoM1= — CoP1. Степень точки P относи-
