Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 337

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 331 332 333 334 335 336 < 337 > 338 339 340 341 342 343 .. 381 >> Следующая


Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

689

III. Многогранники (Д), описанные вокруг сферы. Для того, чтобы в многогранник (А) можно было вписать сферу, прежде всего необходимо, чтобы она касалась боковых граней AA'З'З, BBCC, а, значит, ее центр должен находиться на равных расстояниях от этих граней, т. е. он должен быть расположен на полупрямой OZ. С другой стороны, радиус сферы должен быть равен расстоянию от точки полупрямой OZ до одной из боковых граней, т. е. апофеме данного правильного шестиугольника, а именно а ^ . Так как сфера должна быть расположена

внутри (А) и касаться основания ABCDEF, то ее центр должен быть расположен на луче OZ, перпендикулярном плоскости (P) на

расстоянии Осо =

а Уз

(черт. 281). Рассмотрим

теперь сечение многогранника (А) одной из его плоскостей симметрии, например плоскостью В'BEE'; это будет пятиугольник В BEE'L Сечение сферы (il), вписанной в (А), будет окружность ра-

диуса —2—» касающаяся BE в его середине и.

Так как плоскость IA'В'С перпендикулярна этой плоскости симметрии и сфера (H) касается этой грани, то сечение IB' этой грани касается сечения (П).

Г. Построение многогранника (А), описанного вокруг (Q). Заданы ані. Зная а и I, мы можем построить отрезок BE — 2а и отрезок JJ' = I, перпендикулярный к OB в его середине /. Затем мы можем построить окружность

радиуса а , касающуюся BE в точке О. Прямая IB', определяющая вершину /, есть касательная, проведенная из J' к построенной окружности. Исследован и е. Обозначим через В" точку пересечения перпендикуляра к BE, проведенного через точку В, с касательной (параллельной BE) в точке О", диаметрально противоположной точке О

окружности. Касательная, проведенная из точки J' к окружности, даст возможность построить многогранник (А), если точка В' (точка пересечения ее с BB") будет лежать между В и В". Если точка В' изменяется между В и В", точка J' описывает часть перпендикуляра к ВО в точке J. Так как OJ = > а РадиУс сФеРы

равен

іУз

, т. е. больше, чем О/, то этот перпендикуляр пересекает окружность

в двух точках: К и К\ а прямую О"в"—в точке К"- Обозначим через j'm точку пересечения JJ' и касательной к окружности, проведенной из точки В. Возможное изменение в' показывает, что /' описывает отрезок К' fm и что для всех точек отрезка JmK" проходит только одна касательная к окружности в то время, как через любую точку отрезка К!'К! проходят две касательные, дающие решение

вопроса. Вычисляя JK и JJт, приходим к выводу: 1) если (УЗ +У2) <1<аУЗ,

то имеется два многогранника (А), вписанные в сферу; 2) если а Уз < I <2а Уз, то имеется только один многогранник (А), вписанный в сферу; 3) если I > 2а Уз, то нет ни одного многогранника (А), вписанного в сферу. Для / = 2а Уз многогранник (А) еще существует, но вершины В', D', F' совпадают соответственно с вершинами В, D, F. Для 1 = аУз имеется многогранник типа (А) и призма,

в основании которой лежит правильный шестиугольник. Для / = ~ (Уз -f У2)

имеется лишь один настоящий многогранник (А).

2°. Определение х, для которых (Д) имеет описанную сферу (Q). Мы

видели в II, 2°, что IB' = УAx2 -\-а2. Вычислим расстояние d от точки <о до прямой IB' (черт. 281). Выражая двумя способами двойную площадь треугольника о>В I,

мы имеем d-IB' = BO-f(* или d У4х2 + а2 = a [l -f х — ^-уЦ • Прямая IB'

44 П. С. Моденов

690 Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

і.-,-.--,—.-_

/п\ j #УЗ

касается окружности сечения (Q), если d — -—^— \ тогда х удовлетворяет уравне-

аУ$ ,АТ-ТП-9 ft , «УЗ \

нию —g— У 4л:2 + а2 = а ( / + л:--^—J » или

УЗ (4л2 + а2) = 2* — а Уз + 21. (3)

Уравнение (3) эквивалентно следующей смешанной системе:

З (4л2 + а2) = (2х — аУЗ \ 21?, (4)

^YS

x>~JL2--/. (5)

С другой стороны, по предположению, X должен быть заключен между 0 и /. Упрощая (4), получим

f(x) = 2л2 — (21 — a YZ) x-\-l(aY3 — 0 = 0, (6)

л , a Ys причем 0 < л: < / и X > —2--^

Исследование. Если I > а Уз, уравнение (6) имеет два корня противоположных знаков: х' < 0 < х". Положительный корень удовлетворяет условию задачи,

,, t ,, ^Y 3 , * ciYS . л если X < I, так как условие х > —^—- — / удовлетворяется, ибо —^--^ <

Вычислим /(I) = I (2а УЗ — I). Отсюда следует, что / больше, чем х", если /<2аУз, и / заключено между 0 ил", если />2аУЗ. Задача имеет, следовательно, одно решение, если aY'3 </<2аУз. Если/<аУЗ, надо вычислить

дискриминант уравнения (6): А = 3 (4/2 — 4а/УЗ + #2)- Корни Д суть ~ (YS—У2) и -J (/З"+ УГ). Если -J (УЗ -У2) < / < ~(Уз" + /2), то Д < 0 и корни уравнения (6) мнимые. Если / < (УЗ — У2), то уравнение (6) имеет корни одного t aV~S

знака, но их сумма /--g— отрицательна; значит, оба корня отрицательны и

задача не имеет решения. Если тНУз +У2)</<яУЗ, то два корня уравнения (6) положительны, /(/) > 0; следовательно, / вне интервала корней и ? больше их

1 аУ° л , _

полусуммы --- ; значит, корни заключены между 0 и /. С другой стороны,
Предыдущая << 1 .. 331 332 333 334 335 336 < 337 > 338 339 340 341 342 343 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed