Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 341

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 335 336 337 338 339 340 < 341 > 342 343 344 345 346 347 .. 381 >> Следующая


(C1AB)

Черт. 285.

тельно А. Аналогично 5^5^ и 5 5С параллельны AE и симметричны относительно А. Точка I (В, AC) принадлежит поляре s? относительно (AD1 ВС), а потому лежит на прямой ?л«с. Аналогично доказывается, что I (B1 AC) лежит на &д&с. Значит, Z (B1 AC) есть точка пересечения прямых ^А^с и ^А^с- Аналогично доказывается, что точка Z (C1 AB) есть точка пересечения &А^В и ^>А^В- Значит, А — середина Z (В, CA) I (С, AB) и, значит, в силу свойств перспективы заключаем, что в общем случае (когда В и С на конечном расстоянии) точка А лежит на одной прямой с точками Z (В, AC) и I (С, AB) и что точка А\ сопряженная точке А относительно этих двух точек Z (В, AC) и Z (С, AB), лежит на ВС. Аналогичные заключения можно сделать по отношению к тройкам точек: B1 I (А, ВС), Z(C, AB) и С, I(A1 ВС), I (В, АС). Предполагаем снова, что точки В и С бесконечно удаленные, заключаем, что I (A1 BC)1 1(B1 CA) и Z(C, AB) — три вершины параллелограмма с центром А и сторонами, параллельными соответственно AB и АС. Четвертая вершина со есть, следовательно, точка пересечения следующих трех прямых: AI(A, BC)1

Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ

695

BI (В, AC), CI (С, AB). В силу свойств перспективы заключаем, что в общем случае (когда В и С — на конечном расстоянии), прямые Al(A, ВС), BI(B, АС), CI(C, AB) пересекаются в одной точке со.

4°. Так как никакие три из пяти точек: А, В, С, D, E не лежат на одной прямой, то точка со не лежит ни на одной из трех прямых: А В, ВС и СА, а по-

тому, применяя теорему Чевы (черт. 28о), будем иметь -==г • — j—- • v:. - =— 1.

A Cj BA В

Отсюда следует, что по крайней мере одно из трех отношений отрицательно; пусть,

~В^~С

например, -=- < 0; прямая IB пересекает соответствующий отрезок АС. Значит,

на основании III, 2°, если взять три окружности, проходящие соответственно через В и С, С и А, А и В, плоскости которых отличны от плоскости (P), то по крайней мере одна из этих окружностей подходящей перспективой может быть спроектирована в линию (С), проходящую через пять данных точек.

IV. Г. Через каждые- пять точек таких, что никакие три из них не лежат на одной прямой, проходит и притом только одна линия (С). В самом деле, на основании предыдущего через данные пять точек проходит по крайней мере одна линия (Q. Переменная прямая Ax пересекает (С) вторично в точке М, отличной или совпадающей с А. На основании теоремы Паскаля, три точки: P1 Q и R, в которых пересекаются прямые (AB, DE), (ВС, EM) ц (CD, AM)1 лежат на одной прямой. Задание прямой Ax определяет прямую PQ, значит, и точку Q пересечения ВС и PR и, значит, единственную точку M пересечения Ax и QE. Отсюда и следует, что пять точек: А, В, С, D, Е, из которых никакие три не лежат на одной прямой, определяют только одну линию (С), через них проходящую.

2°. Перспектива линии (С) есть снова линия (С). В самом деле, пять точек: А, В, С, D, Е, лежащих на линии (С), проектируются из точки S на плоскость (P) в пять точек Af, В\ C1 D'', E' таких, что никакие три из них не лежат на одной прямой.

Пусть (Г') — перспектива (С). Линия (P') проходит через А', В', С, D', Ег, которые определяют линию типа (С); ее мы обозначим через (C'). Проведем через

Черт. 286.

J1




А

E
'0 А1'

Черт. 287.

точку А' произвольную прямую А''х''. Так как теорема Паскаля имеет место и для линии (F') [ибо эта линия есть проекция линии (Q] и для линии (С) [ибо эта линия типа (Q], то на произвольной прямой А'хг вторые точки пересечения ее с (Гг) и (С) будут совпадать с одной и той же точкой M' прямой A'xr. Значит, линии (Г') и (С) совпадают.

V. Линии (С) суть конические сечения. Всякая линия (Q имеет по меньшей мере одну ось симметрии xrX и по меньшей мере одну точку А, лежащую на этой оси (черт. 287). Пусть DE—хорда линии (С), перпендикулярная в точке d оси х'х. Полюс / прямой DE относительно (Q лежит на хгх. Если существует в плоскости-медиатрисе отрезка DE точка S1 служащая вершиной конуса вращения с осью Sd и проходящего через (С), то перспектива из S линии (С) на плоскость (P1), перпендикулярную Sd в точке D1 будет окружностью (Гj) с осью Sd и радиусом dD.

696

Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ

Полюс Z1 прямой DE относительно (P1) лежит в бесконечности; следовательно, IS7 которая проходит через Z1, будет перпендикулярна Sd и, значит, точка S лежит на окружности с диаметром Id; прямая SA пересекает dlx в точке T такой, что dT = dD\ значит, точка T является точкой пересечения окружности с центром d и радиусом dD и окружности, гомотетичной окружности с диаметром Id в гомо-

Если поэтому эти две окружности пересекаются в точках T и Т\

то прямая ТА пересекает в точке 5 (по другую сторону от T относительно х'х) окружность с диаметром Id и, значит, (С) лежит на конусе вращения с вершиной S, осью Sd и половиной угла при вершине, равной (Sd1 ST). Для того чтобы доказать, что (С) — коническое сечение, надо еще показать возможность построения указанного конуса, а для этого необходимо и достаточно установить существование точек T
Предыдущая << 1 .. 335 336 337 338 339 340 < 341 > 342 343 344 345 346 347 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed