Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
= 200' — OI = 2/-(/ + л) = I -Форма четырехугольника
и IE'А' с перпендикулярами к (P) F лежат по ту же сторону. Далее, O? -f- OI = 200', откуда O? =
.....- х. Итак, BB' = DD' = FF' = 1 — х.
IA'В'С. Точка J', на основании предыдущего,
есть середина AC и IB'. Угол WA', сторона J'А' которого параллельна плоскости (P), проектируется на плоскость (P) в прямой угол OJA1 значит, угол IJ'А' также прямой. Четырехугольник I А'В'С, диагонали которого пересекаются в их серединах и перпендикулярны, — ромб; четырехугольники ICD'E' и IE'F'А' — также ромбы.
Проекция многогранника (Д) на различные плоскости. Рассмотрим многогранник (Д), грани которого: шестиугольник ABCDEF1 шесть прямоугольных трапеций: ABB'A', BCCB', CDD1C1 DEE'D', EFF'E', FAA'F' и три ромба: IA'В'С, ICD'E' и IE'F'A'.
... а) Возьмем в качестве плоскости проекции плоскость (P) и предположим, что наблюдатель находится в бесконечности в направлении полупрямой OZ.
Шестиугольник ABCDEF спроектируется в правильный шестиугольник, в истинную свою величину. Вершины А', В', С, D', E', F' спроектируются соответственно в А, В, С, D, Е, F, вершина / — в точку, О — центр данного правильного шестиугольника. Вертикальные грани спроектируются в стороны шестиугольника, а ромбы IA'В'С, ICD'E' и IE'F'A' —в ромбы OABC1OCDE, OEFA. Все проекции будут видимы, поскольку точка I видимая (черт. 278).
б) Возьмем теперь в качестве плоскости проекции плоскость BB'E'E и предположим, что наблюдатель находится в бесконечности в направлении, перпендикуляром этой плоскости, например в направлении ЛС, со стороны точки С по отношению к плоскости BBEE (черт. 279). Шестиугольник ABCDEF спроектируется на эту плоскость в отрезок BE длиной 2а, центр О — в середину этого отрезка, вершины Л и С — в середину OB, а вершины DnF—в середину OE. Перпендикуляры к плоскости (P) спроектируются в перпендикуляры к отрезку BE. С, E' спроектируются в точки, лежащие на перпендикулярах к BE
Черт. 278.
Вершины
в точках Л, С, E на расстоянии / от BE; I спроектируется в точку, лежащую на перпендикуляре к BE в точке О на расстоянии I ~\~ х. Точки В', D', F' спроектируются в точки, лежащие на перпендикулярах к BE в точках В, D, F на расстоянии / — х. Заметим, что плоскость IA'В'С перпендикулярна плоскости BEE'В'; она, следовательно, проектируется в прямую линию; все проекции точек В', А', С, I лежат на этой прямой. Контур BEE'IB' видим, ибо видны все ребра. Проекция дана на черт. 279.
в) Возьмем, наконец, в качестве плоскости проекции плоскость, проходящую через середину отрезка BC1 перпендикулярную этому отрезку, и
688
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
предположим, что наблюдатель расположен в бесконечности, в направлении
от В к С. Шестиугольник ABCDEF спроектируется в отрезок CE длиной a Уз — двойная апофема шестиугольника. Центр шестиугольника спроектируется в середину этого отрезка, туда же спроектируется AnD. Вершины BuF спроекти-руются соответственно в С и Е. Перпендикуляры к плоскости (P) спроектируются в перпендикуляры к отрезку СЕ. Вершины А', C1 E' спроектируются в точки, лежащие на перпендикулярах к CE в точках A1 C1 E на расстояниях / от СЕ. Вершины В', D\ F' спроектируются в перпендикуляры к CE в точках B1 D1 F на расстоянии / — X1 а вершина / — на перпендикуляр к CE в точке О на расстоянии / -f* х. Невидимыми будут ребра, выходящие из А' (черт. 280).
Черт. 279. Черт. 280.
2°. а) Диагонали ромба IA'ВС: А'С = д Уз, IB' = ]/Чл:2 -f- я2, б) cos 9 =
X 8 а Т/3" 2х2 — а2
=--¦ , tg — = -, cos O —-.
Ya2 + je2 2 У 4х2 + а2 2 (х2 + а2)
в) Объем (А): V — ^а — (не зависит от х).
г) Полная поверхность (Д): s = За х + |/ Зх2 + + (а Уз~ + 4/).
д) Сумма всех ребер: L = 3 (— х -J- У9*2 + а2) + 6 (а + /).
3°. На основании I находим минимумы 5.и Z,: S0 = ~2~l? + У2) + 4/]
при X = —Z,0 = 6 [а (У2 -f 1) -j- /] при х = —^=-. Полагая 9 = 6, найдем 2 *|/ 2 2 ~у 2
л' = —^rZ- и обратно. 2У2 F
Изучение трехгранных углов с вершинами /, В', D', F' и четырехгранных углов с вершинами А' 9 C9 E' многогранника (А). Поскольку для (Д0) а
величина X = ^ , то мы имеем cos 8 = cos 9 и, так как эти углы заключены
между 0 и 180°, то 6 = <р, или /_А'IC =¦ /_BB'А'. Все плоские углы трехгранных углов I(А'СE') и В'(ВА'С) также равны 6, ибо /_ВВ'А = ^BB'С = 9, /Л'Я'С' = о. Трехгранные углы I(A'C'E'), В'(ВA'C)1 D'(DCE'), F'(FE'А') имеют все плоские углы, равные 0. Рассмотрим четырехгранный угол A' (AB'IF'). Углы AA'В и AAF' равны тс — 9, углы В'А'In F'А'I равны Tt — 0, значит, все плоские углы равны между собой и равны тс — 8. То же самое относится и к четырехгранным углам С (CB'ID') и E' (ED'IF'). Косинусы плоских углов трехгранных углов равны
/ 2х2 — а2 \ 1
\2(х2 + а2) )
а_ ~ 3 '
2у2
а плоские углы четырехгранных углов равны -^-. Из черт. 277 следует, что ABC —
о
линейный угол двугранного угла с ребром В'В; этот угол равен 120°. Все двугранные углы трехгранных углов равны 120°. Аналогично: все двугранные углы четырехгранных углов, рассмотренные выше, равны между собой. Двугранный угол с ребром AA' имеет в качестве линейного угла угол FAB, равный 120°. Таким образом, все двугранные углы рассматриваемых четырехгранных углов равны 120°.
