Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
так как Ахр = OK, Z OKA1 = /_ АхрОх = ~ (и / AxOK= /_ рАхОх как углы с перпендикулярными сторонами). Значит, AxOx = OAx; точка O1 фиксирована, а так как Z АхрОх = ~, то геометрическое место точек р есть окружность, построенная
на AxOx как на диаметре — это направляющая окружность конуса (А — его вершина); конус — круговой, наклонный.
Пересечение (D) и (D'). Пусть (D) —прямая MM'; обозначим через М" образ M' в преобразовании (H). Образ (D') прямой (D) есть прямая М'М"; она пересекает (D) в точке M'. Обратно: пусть (L) — такая прямая, которая пересекает свой образ (L') в преобразовании (H), и X' — точка их пересечения. Обозначаем через X прообраз X7; точка X лежит на (L), так как ее образ X' лежит на (L'). Значит, (L) — прямая (D). Таким образом, необходимое и достаточное условие того, что прямая есть прямая (D), состоит в том, что эта прямая и ее образ (D') должны иметь общую точку.
3°. Геометрическое место точек / при условии, что M зачерчивает плоскость (P). Точка / из точки M может быть получена в результате переноса ~,
686
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
поворота вокруг (А) на угол ~ и аксиального подобия (ось А) с коэффициентом
-7L-. Все эти преобразования плоскость переводят в плоскость. Значит, геометри-
1 2
ческое место точек / есть плоскость. Заметим, что если точка M описывает прямую (L), а точка M' описывает ее образ — (L'), то геометрическое место точек / есть также прямая линия. Значит, если рассмотреть две прямые плоскости (P), то геометрическое место точек / при условии, что точка M зачерчивает плоскость (P), будет плоскость, определяемая двумя прямыми, ассоциированными указанным образом с выбранными прямыми.
Геометрическое место точек M — плоскости (P), образы которых лежат также в плоскости (P). Пусть (P) — произвольная плоскость, a (P') — ее образ. (L') — прямая, по которой пересекаются (P) и (P'); (L) — прообраз (L'). Прямая (L) лежит в плоскости (P), так как прямая (L') лежит в плоскости (P'). Прямая (L) и состоит из тех точек плоскости (P), образы которых лежат также в плоскости (P) [так как прямая (L') лежит также и в плоскости (P)].
Огибающая прямых (D) плоскости (P). Пусть M — произвольная точка прямой (L) плоскости (/7), a NY— ее образ, лежащий на (L'). Тогда MNY — это прямая (D) плоскости (P). Обозначим через U' точку пересечения прямых (L) и (L'), а через U—прообраз U'. Отрезки UM и WM' равны; значит, если Mx и M2 — два
положения точки M на прямой (L), а м[ и M2—их образы (они лежат на прямой L'), то M1M2 — М[М2. Но в таком случае прямая MM.' огибает параболу, касающуюся прямых (L) и (L') соответственно в точках U и U", где U" — образ U'.
23. I. Изучение иррационального уравнения. Г. Число неотрицательных значений Xy соответствующих положительному значению у.
Пусть т — какое-нибудь положительное значение у. Найдем, сколько значений X соответствуют условию
т = — X -f- ] ах2 -f- ?, X > 0, где ос > 1 и (5 > 0. (1)
Эта смешанная система эквивалентна следующей: т -f- х — Yo.x2 -\- ?, л:>0, а> 1, ? > 0, или следующей (т -\- х)2 — ах2 -J- ?, х >0, а > 1, ? > 0. Окончательно х найдем из условий
(a — X)X2 — 2тл + Э — т2 = 0, *>0, а > 1, ?>0. (2)
Мы видим, что если m>]/"?, то так как а > 1, то крайние коэффициенты квадратного уравнения будут разных знаков, уравнение имеет два корня противоположных знаков, а задача — одно решение. Если 0 < т -O^?, то произведение
2 т
и сумма корней уравнения (2), т. е. дробь ——-, больше или равна 0. Условие деиствительности корней: т >-1/ -----—- . 1 ак как это число меньше, чем > ?, окончательно имеем: 1) если 0 < /и < j/~~-~——» то ни какому значению л* > 0
не соответствует положительного значения у; 2) если |/~^ ^—~ < m < У р,
то два значения л: соответствуют заданному значению у = /и; 3) если т > Y$ » то лишь одно положительное значение X соответствует заданному положительному значению у — т.
2°. Минимум функции у. Из соотношения (1) следует, что каждому значению л* >- 0 соответствует единственное положительное значение у, так как если X > 0, то в силу а > 1 и ? > 0 имеем }гал"2 -f- ? > X и, значит, у > 0. Из I, Г сле-
дует, что если у < |/ _z f то никакое положительное значение X не соответ-
ствует этому значению у. Значит, при всех положительных значениях х функция > |/~~это число есть, следовательно, нижняя грань функции у; эта грань достигается при значении х, которое является двойным корнем уравне-
/ОЧ Ш -в / ?
ния (2), т. с. при X = —.....—:- = 1/ —7——п •
1 а — 1 Г а (а — 1)
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
687
П. Свойства многогранника (Д). 1°. Свойства ребер ВВ\ DD', FF''. Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF со стороной, расположенной в плоскости (P) (черт. 277). Проведем через точки At С и E прямые, перпендикулярные плоскости (P), по одну сторону от этой плоскости, и отложим на них отрезки AAf = CCr = ЕЕ' = I. Затем на полупрямой OZ, перпендикулярной плоскости (P), отложим отрезок OI = / + x (O < x < /). Пусть плоскость IА'С пересекает перпендикуляр в точке В к плоскости (P) в точке Br. Прямые IB' и А'С плоскости ІА'С пересекаются в точке J', ортогональная проекция J которой на плоскость (P) есть точка пересечения прямых OB и АС. На основании свойства шестиугольника, J есть середина OB и АС. Значит, J' есть середина IB'. Обозначим теперь через О' и ? ортогональные проекции J' и В' на OZ. Так как AA' = CC = /, то прямая А'С параллельна плоскости (P) и 00' = JJ' = AA' = /. Далее, О' — середина ?/. По предположению O < x < I, значит, I лежит внутри сегмента 0'K = Ir где точка К лежит на продолжении отрезка 00' за точку О'. Точка ? симметрична точке / относительно О' н, значит, лежит внутри сегмента О'О, симметричного О'К относительно ?; значит, ? расположена над плоскостью (P), а потому В' расположена над плоскостью (P). Аналогично доказывается, что и точки D' и F' пересечения плоскостей ICE' в точках Dh
