Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Исследование. Существуют две окружности: (?) и (y), если точки z и z' отличны от А Одна из точек т или z' совпадает с P1 если окружности (а) и (3) равны; в этом случае существует только одна окружность (?), а вторая вырождается во вторую общую внешнюю касательную (о) к (а) и (?).
Вычисление отношений
TP
TP
. Заметим, что т и z' симметричны от-
ії TQ = PQ-PT = -:
2dR9
d + R2
TQ TQ
носите л ьно Q; значит, их образы T и T' в инверсии (Р, 4гР) гармонически сопря-T1P TP
жены с P и О, т. е. ___~---~_г . Так как Т — образ т в инверсии (P1 Ad2), то
TQ TQ
____ — 'Л/2
PT-Pz = PT(Id і 2R2) = Ad2, откуда PP = ^
__ " І" ^2
TP TP d Окончательно ~ — = —.
Г Q TQ P2
Соотношение между радиусами (а), (?) и (г). Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную центрами А и В окружностей (а) и (3) и их точками прикосновения P и Q к (А). Имеем AB2 = PQ2+ (АР— BQf1 откуда (P1 + P2)2 = = Ad2 + (R1 — P2)2 или ^d2 4/?!/?2; аналогично, рассматривая пары окружностей (3), (7) и Jj), (а), найдем: PT2 = ARxR21 TQ2 = 4P2P3. Итак, PQ = 2 РГ = 2^P1P3, QT = 2YR2R3. Так как точки Р, Q и T лежат на одной пря-
мой, то PQ~[PT± TQj1
Yr1R2 = \ Y RiRl ± Yr2R* 1
1
или или
(1)
Окружность, проходящая через ?/, К, U\ V. Рассмотрим четырехугольник vuu'v', образованный точками прикосновения (P) и (Г') с (?) и (о). Ясно, что фигура vuu'v' — равнобочная трапеция, а потому вокруг нее можно описать окружность. Образы точек U1 V1 u\ v' в инверсии (P1 Ad2), т. е. точки U, V1 U\ V также будут лежать на одной окружности. Вы-
UU' - W ражение цу'~и7~\/г Ш1ВаРиантпо
во всякой инверсии *, значит, в частности, и в инверсии (P1 Ad2);
UU' - VV следовательно, '{jV~~ifV'' ^ au' -vv' 2r2-AR2 _
/ш
Черт. 195.
uv • u'vf R2 ]/~ 2 . P2 Y 2 Н. В этой части окружности (а) и (?) изменяются так, что, с одной стороны, внешне касаются друг друга, а с другой стороны, касаются фиксированной прямой (А) в фиксированных точках P и 0- При этом мы будем рассматривать окружности (а) и (?), расположенные только с одной стороны от прямой (А).
1°. Геометрическое место точки W и огибающая AB. В инверсии (P1 Ad2) точка W инвертируется в точку Q', диаметрально противоположную Q на (?). Геометрическое место точек Q' есть полупрямая, перпендикулярная в точке Q прямой (А). Значит, геометрическое место точек W есть полуокружность с диаметром PQ (черт. 195). Эта полуокружность ортогональна окружностям (ос) и (?) в точках PhQ (см. черт. 194), а значит, она ортогональна им в точке W и
* Это сразу следует из формулы А'В' = AB "Qj-^Qg- » определяющей длину А'В' образа отрезка AB в инверсии (О, к) (см., например, задачу № 70 этой главы).
602 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
окружности, ограниченной точками P
касается их линии центров AB. Таким образом, огибающая прямых AB есть полуокружность, являющаяся геометрическим местом точек W.
2°. Фиксированная точка WT. В инверсии (Р, Ad2) прямая WT преобразуется в окружность, проходящую через полюс инверсии Р, через точку Q', полученную инверсией W, и через точку т, полученную инверсией Т. Эта окружность вторично пересекает прямую QQ' в точке ю такой, что QP - Qx = QQ' • Qw; но Qx = QQ' (:-- 2R2), значит, coQ = QP; треугольник PQro поэтому равнобедренный. Отсюда следует, что прямая WT проходит через точку 12, полученную из « в результате инверсии (P1 Ad2), — это точка пересечения Po с полуокружностью, симметричной относительно (А) той полуокружности, которая является геометрическим местом точек W; аналогично для окружности (Y)1 прямая WT' проходит через точку 12', симметричную 12 относительно (Л). Итак, прямые WTu WT' проходят через фиксированные точки 12 и 12' — середины дуг полуокружностей с диаметром PQ.
3°. Огибающая окружностей (х). Рассмотрим снова окружность (P), полученную из (7) инверсией (P1 Ad2). Если (?) изменяется, эта окружность (P) остается гомотетичной любому из своих положений, так как ее центр описывает полупрямую, выходящую из точки Q и образующую с (A) угол 8 = arctg--. Следовательно,
огибающая окружностей (Г) состоит из полупрямой (А), ограниченной точкой Q1
4
и другой полупрямой (A1), выходящей из Q и образующей с (А) угол 20 = arctg ^ .
о
Отсюда следует, что огибающая окружностей (7) состоит из отрезка PQ и дуги (S1)
~ и Q и пересекающей (А) под углом 2Ь; центр O1 этой дуги есть точка медиатрисы отрезка PQ1 расположенная под прямой (А)
и такая, что Ob1 — ~d (О — середина отрезка PQ); радиус этой дуги равен ~- d,
касательная к этой дуге в точке Q есть полупрямая (Aj), симметричная (Aj) относительно QB. Аналогично рассуждая по отношению к (7'), приходим к выводу, что огибающая окружностей (7') состоит из всех точек прямой (А), лежащих вне отрезка PQ и дуги (S1) окружности, ограниченной точками PhQ и касающейся в точке Q прямой (A1); эта дуга симметрична относительно (А) дуге, дополняющей до полной окружности дугу (O1). Итак, огибающая (7) и (7') состоит из всей прямой (А) и дуг (Ь:) и (O1) двух указанных окружностей.
