Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
= ЕН (*Я
~~ 2R — AD' 3
HI
R-EH =
следовательно, R +AD
OH= і
ad \
2R )
?со' окружности (со), DL FH Dl^ "FE > °ТКуДа R-AD
4R2 (R2 —AD2)
Так
2R^ 3
'2R-AD' значит, HK2 —
EH=R-
VR-ADf то НК2 = ЕН-Н<»' =
ОН _ FH _ DA ~~ "2R ~ R-AD
2R — AD' All2 R2 —AD2 3"
-2R IH2
2R—AD*
откуда
тщ =^3' Точка
2R — AD ' з {2R-AD)2
I принадлежит, следовательно, эллипсу (E1), полученному из
аффинным сжатием (в данном случае — фактически растяжением) сжатия, равным У 3; в то же время точка
/ лежит
ОКруЖНОСТИ (со)
к оси EF с коэффициентом сжатия, равным У 3; в то же
вне окружности (О), аналогично можно доказать, что точка J принадлежит эллипсу (E2), полученному из окружности (со') тем же сжатием; однако точки / при этом лежат внутри окружности (О). Если точка А описывает окружность (О) в целом, то точки IhJ описывают дуги указанных эллипсов: точка / описывает дугу эллипса (.E1), расположенную вне окружности (О), а точка / — дугу эллипса (E2), расположенную внутри окружности (О).
69. Пусть G — точка пересечения прямых CA и BD, a H—точка пересечения прямых AD и ВС. Тогда пучок G(C, В; I, H) гармонический. Прямая GH—поляра
точки / по отношению к окружности (О), и, значит, GH J_ 01; но, с другой стороны, OI ± EF; значит, GH\\EF. Рассмотрим гармонический пучок G(C,B;I,H); прямая EF пересекает прямые этого пучка в точках М, N, /ив бесконечно удаленной точке; значит, / — середина MN (черт. 188).
70. Если В' и С— точки, полученные инверсией (A1 k) из точек В и С, то
AR' AC
(черт. 189 и 190) AB- AB' = AC- AC = \k\, отсюда = ¦^Jg-> значит,
ААВ'С^ААСВ, поэтому ^L = , откуда В'С = ВС ^ = ВС =
^всАШс> аналогично с°г = с°мгш и D'B'^DB Idtjb' вокруг
четырехугольника ABCD можно описать окружность тогда и только тогда, когда точки В', С и D' расположены на одной прямой, т. е. если D'С + CB' = D'В' (точка С расположена между точками В' и D', так как ABCD — выпуклый
I k I
четырехугольник). Последнее соотношение можно переписать в виде CD д ^ +
+ ВС -^дд^дс = BD •Jj^Jj , или AB - CD -f ВС • AD = AC- BD. Итак, для того
чтобы вокруг выпуклого четырехугольника ABCD можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений противоположных сторон была равна произведению его диагоналей (теорема Птоломея и ей обратная).
71. Необходимое и достаточное условие того, что окружность принадлежит данному семейству окружностей. Если окружность (О) с центром О и радиусом R принадлежит заданному семейству (черт. 191), то OA = R У2; (1)
59?
обратно, если для окружности с центром О и радиусом R выполнено соотношение (1), то четырехугольник, образованный касательными, проведенными из точки А к окружности (О), и радиусами, проведенными в точку касания, есть квадрат; значит, окружность (О) принадлежит заданному семейству. Соотношение (1), таким образом, есть необходимое и достаточное условие того, что окружность с центром О и радиусом R принадлежит заданному семейству окружностей.
Г. Окружности (О), проходящие через данную точку В. Для того чтобы окружность, проходящая через данную точку В, принадлежала данному семейству, необходимо и достаточно, чтобы OA = OB Y 2 или ~Y 2.
(Jd
Геометрическое место центров О окружности данного семейства, проходящих через точку В, есть, таким образом, геометрическое место точек, отношение расстояний каждой из которых до точек А и В равно /2. Это окружность (Г), имеющая центр на прямой AB, точки пересечения которой с прямой AB строятся, например, так
(черт. 192): пусть ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник (В — прямой угол); проведем биссектрисы внутреннего и внешнего угла С; эти биссектрисы пересекут AB в точках P и Q, в которых окружность (Г) пересекает прямую AB. Пусть Li— центр (Г); треугольник ACiI — прямоугольный и равнобедренный; эта окружность (F) касается AC в точке С Точки прикосновения T и T получаются
из точки О (черт. 191) подобиями [A, —jr=r, + — | и (А, —--, ——). Геометри-
1/2 4,/1/2 4; F
ческие места этих точек состоят из двух окружностей, полученных из (Г) этими
подобиями. Треугольник AQ-I подобием ^A, » — ~j преобразуется в треугольник ABC, где С — точка прикосновения к окружности (Г) второй касательной, проведенной из А. Значит, одна из окружностей (геометрическое место точек T') есть окружность с центром С, проходящая через В (эта окружность касается прямой AB в точке В); другая окружность симметрична этой относительно AB.
2°. Окружности, касающиеся данной прямой. Для того чтобы окружность, касающаяся (Д), принадлежала данному семейству, необходимо и достаточно,
чтобы отношение расстояние от ее центра до точки А к расстоянию от центра до прямой (Д) было равно /2. Геометрическое место центров О окружностей (О), касающихся прямой (Д), есть, следовательно, гипербола (H) с фокусом А и соответствующей этому фокусу директрисой (Д). Пусть В — проекция точки А на прямую (Д). Тогда вершины PnQ гиперболы (H) строятся так же, как точки P и Q на чертеже 192; (H) — равносторонняя гипербола.
