Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 277

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 271 272 273 274 275 276 < 277 > 278 279 280 281 282 283 .. 381 >> Следующая


Вычисление радиуса (Г). В п. Г мы нашли, что степень точки H отно-

сительно всякой окружности пучка (F) равна Значит, в частности, HF1 = --^,

(Q) *

HI--

4/6

//' = 2IH =

8 У 6

FQ =

8 у 6

значит, R = I'il /2 = -16^3

5 5 1 5 ' ~ 5 ' ^*""1111' ^ - * г - 5 •

66. Г. Построение центров С и С окружностей (С) и (С). Центр С окружности (С) лежит на медиатрисе (А) отрезка ОМ; точка прикосновения окружности (С) к прямой (D') есть точка, в которой (А) пересекает (D'). Центр С окружности (С) лежит в точке пересечения прямой (А) и медиатрисы отрезка ON (черт. 183); аналогично строится центр С окружности (С).

Свойства прямых MN и M'N'. Прямые (А) и (D') являются биссектрисами углов между прямыми MN и ON. Прямая MN1 следовательно, симметрична

Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 595

прямой ON относительно (D'); значит, она проходит через фиксированную точку /, полученную из О симметрией в (D'). Прямая M'N' также проходит через ту же фиксированную точку /.

Геометрическое место точек В. Пусть К—точка, в пересекает (D'). Это фиксированная точка, и поскольку А

К — середина NN'. Точка /< имеет, следовательно, тельно окружностей (С) и (C)1 поэтому лежит на радикальной оси этих двух окружностей, которая есть фиксированная прямая OK- Итак, точка В лежит на фиксированной радикальной оси OK окружностей (С) и (С). Для определения геометрического места точек В установим на прямой КО положительное направление _________ ддГ2

от К к О. Тогда KB = -^=-. Знаменатель — КО

которой прямая IA - середина MM', то

одну и ту же степень относи-

постоянныи и положительный, числитель также положителен и в силу KN = ~ AM может принимать все действительные значения от 0 до + со. Значит, геометрическое место точек В есть полупрямая, выходящая из точки К и проходящая через О.

2°. Свойства касательных в точках M н M' к окружностям (С) и (С). Точка N1 в которой прямая MI пересекает (С), есть середина дуги OM окружности (С). Значит углы,

мой (D) и с касательной MP к окружности (С) в точке M1 равны между собой (один из них вписан в дугу, другой образован касательной и хордой, отсекающей ту же дугу). Значит, точка I равноотстоит от прямой (D) и от прямой MP; аналогично доказывается, что точка / равноотстоит от прямой (D) и от касательной М'Р в точке M' к окружности (С). Так как точка I равноотстоит от трех прямых: (D)1 MP и М'Р, то она расположена на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми MP и М'Р, и, значит, все эти три прямые касаются окружности (Г) с центром / и радиусом OL

Черт. 183. образованные этой прямой с пря-

Черт. 184.

Геометрическое место точек Р. Точка О есть точка прикосновения окружности (Г) со стороной MM' треугольника MPM'; значит, оочка А', симметричная О относительно середины А отрезка MM', также является точкой прикосновения к MM' другой окружности (С), касающейся этих трех прямых; центр окружности (Г') расположен на той же биссектрисе угла Р, что и точка I [если точка Al расположена между А и O1 как на черт. 184, то окружности (Г) и (Г') -~

38*

596

Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ

сбс вневписанные окружности в углы NY и M треугольника PM' М; если же точка m лежит вне отрезка АО, то (F) будет окружностью, вписанной в треугольник AiPM', а (Г) — окружность, вневписанная в угол Р]. Окружности (Г) и (Г') гомотетичны по отношению к центру Р; значит, точка А' окружности (Г) и точка /' окружности (Г), диаметрально противоположная точке О, > лежат на одной прямой с точкой Р. Итак, точка P лежит на фиксированной прямой, проходящей через две фиксированные точки: А' и /'. Для того чтобы найти геометрическое место точек P1 можно рассматривать точку P как точку пересечения фиксированной прямой AT с касательной, отличной от (D), прозеденной из точки M к окружности (Г). Если точка M приближается к Л, то точка M' также приближается к Л. Касательные, проведенные из этих двух точек к (Г), стремятся к совпадению, и точка P также стремится к совпадению с общей точкой касания; так как точка P всегда расположена на прямой AT, то, когда точка M совпадает с Л, точка P есть вторая точка E пересечения прямой А'Г с окружностью (Г). Когда точка M удаляется от точки Л вправо, точка P описывает отрезок EA', в то время как точка M описывает отрезок OA. Затем, когда точка M описывает отрезок OM1 [точка M1 такова, что касательная, проведенная из нее к окружности (Г), параллельна AT], точка P описывает все продолжение отрезка EA' за точку А'; наконец, когда точка M переходит через точку M1 и неограниченно удаляется вправо, точка P описывает продолжение отрезка AT за точку /'. Итак, геометрическое место точек P есть прямая EV за вычетом отрезка E/'.

Положения точек M и М\ при которых окружности (С) и (С) будут ортогональны. Направления касательных к окружностям (С) и (С) в точке О симметричны направлениям касательных к этим окружностям, проведенным в точках M и A4' относительно прямой, перпендикулярной (D). Поэтому для того чтобы окружности (С) и (С) были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы прямые MP и M'P были ортогональны и, следовательно, чтобы точка P принадлежала геометрическому месту точек, для каждой из которых окружность (Г) видна под прямым углом — это окружность (/, IO V~2). Она пересекает AT в двух точках; каждой из них соответствует пара точек: M и M'. Задача всегда имеет два решения.
Предыдущая << 1 .. 271 272 273 274 275 276 < 277 > 278 279 280 281 282 283 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed