Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
3°. Преобразование фигуры инверсией (О, O12). В этой инверсии прямая (D') перейдет в окружность (Г), а окружности (С) и (С), касающиеся (D'), — в касательные к (Г), параллельные соответственно касательным в точке О к окружностям (С) и (С). Их направления, как это указывалось выше, симметричны направлениям прямых MP и М'Р относительно перпендикуляра к (D) или, что то же самое, относительно любой прямой, параллельной (D). Значит, прямые, в которые перейдут (С) и (С), будут прямыми, симметричными прямым MP и М'Р относительно прямой Х'Х, проходящей через точку / параллельно (D). Образ Q точки В в этой инверсии есть, следовательно, точка, симметричная P относительно Х'Х. Для того чтобы окружности (С) и (С) были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы прямые, в которые они преобразуются, были ортогональны; значит, точка Q, следовательно и Р, принадлежит геометрическому месту точек, для каждой из которых окружность (Г) видна под прямым углом. Мы приходим к тому, что выше было получено иным путем.
67. Г. Образ (С) в инверсии (/, R2). Всякая окружность, ортогональная окружности (/), инвариантна в инверсии (/, R2).
2°. Изучение окружностей (С), ортогональных окружности (/) и касающихся окружности (Ci). Всякая окружность (С), ортогональная окружности (/) и касающаяся (C1), инвариантна в инверсии (/, R2) и, значит, касается окружности (C2), полученной инверсией (C1). Точки прикосновения M1 и M2 окружности (С) к окружностям (C1) и (C2) соответствуют друг другу в этой инверсии, и, значит, прямые M1M2 постоянно проходят через точку /. Линия (C2), которая есть, вообще говоря, окружность, касающаяся в точке О окружности (/), вырождается в прямую [касающуюся также в точке О окружности (C2)J в случае, если (C1) проходит
Черт. 185.
через точку /.
Соотношение между R9 R1
и R2. Пусть P1 и P2 — точки, диаметрально про-
тивоположные точке О относительно окружностей (C1) и (C2) (черт. 185). Имеем: IPi-IP2-IO2; отсюда следует, что точки P1 и P2 гармонически сопряжены отно-
сительно пары точек О, О'; это можно записать и так: 1,1 2 11
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
597
3'. Определение (C1) и (C2) таких что
Rl Rl а2 Вопрос сводится к решению системы (1), (2) ИЛИ Xx
1 111
(2)
- X2 = 2?, х\ + х\ == а2, где
Х\ — , х2 :
•¦ а,
?. Второе уравнение можно переписать так:
(X1 -}- X2)2Sx1X2 = а2, откуда ^1Ar2 Таким образом, Xx и л-2 — корни уравнения
^2_2?* + 2?2-^=0. (3)
Единственное условие возможности решения — это действительность корней этого
уравнения, что дает а •< ^r?=r • Итак, для лю-
R
V2
бого а —— мы имеем единственную пару У 2
окружностей: (Ci), (C2), удовлетворяющую условию задачи; (C1) — любая из них.
Частный с л у ч а й: а = . В этом
Черт. IBb
случае один из корней уравнения (3) равен
нулю, другой 2?, т. е. -^-. Нулевому корню со зтветствует прямая, касающаяся
2
в точке О окружности (/). Корню соответствует окружность с центром / _ п
таким, что О/=-^- ; это окружность, построенная на OI как на диаметре.
4°. Геометрическое место центров окружностей (С), если а ¦
2 *
В этом
случае окружность (C1) — это окружность, построенная на OI как на диаметре, a (C2) — касательная к окружности (/) в точке О (черт. 186). Продолжим радиус CM2
окружности (С) на длину M2H, равную -у ;
получим точку Н, всегда расположенную на фиксированной прямой (D), параллельной прямой (C2), проходящей на расстоя-
нии -^- от прямой (C2) по другую сторону
от точки /. Из равенства отрезков CAl1 и CM2 следует равенство отрезков CJ и CH; значит, точка С лежит на параболе (P) с фокусом J и директрисой (D). Так как точка M2 описывает прямую (C2) в целом, точка H описывает прямую (D) в целом, а значит С описывает параболу (P) в целом.
68. Пусть (О') — окружность с диаметром AD, где AD — высота треугольника ABC. Проведем диаметр EF окружности (О), лежащий на медиатрисе отрезка ВС. Центры IwJ гомотетий окружностей (О) и (О') суть точки пересечения линии ОО' центров этих окружностей с прямыми EA и ED, соединяющими концы параллельных радиусов; прямая ID проходит через F. Заметим, что если А стремится к Е, то точка / стремится также к точке Е, a J—к точке со отрезка OE -> 1 -> р
такой, что == — OE. Осо = ~; аналогично, если точка А стремится к точке F, точка I стремится также к F, а точка / стремится к точке со' отрезка OF такой, что Ош' = \ OF, 0<о' = -^- (черт. 187). Проведем окружность (со) с центром со и
3 ' ~~ 3 радиусом (лE и окружность (со') с центром
и радиусом cu'F; эти окружности
598
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
проходят соответственно через точки со7 и со. Опустим из точки / перпендикуляр IH на диаметр EF; он пересечет AD в точке L, а окружность (со) —в точке К- Имеем
HI
HL
- 00' L у IO I \
ДНІ
¦)¦
, откуда HI2 =
как HK-— перпендикуляр к диаметру
ЕН\. В силу гомотетии имеем R _________ Лгг R-AD
