Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
65. Г. Степень точки M относительно данных окружностей. P = х2— 1, P' = (х — 5)2 — 4 = X2 — 1Ox -\~ 21.
Абсцисса точки Н. Абсцисса точки Я определяется из уравнения P = P',
что дает л' = ~. Степень точки Я относительно (О) и (О') равна ^У^ —1 =
Положение точки M, для которого P' = kP. Получаем уравнение (k — 1) х2 + + 1Ox — (k -f- 21) = 0. Его дискриминант А = &2 -j- 20& -)- 4 положителен или равен
нулю, если или k < — 10 — 4 |/"б или & > — 10-)-41^6. Уравнение P' = IzP имеет два действительных различных корня, если исключаются знаки равенства; если же k ¦= —10 ± 4 ]/"б, то корень двойной. Для того чтобы показать, что при наличии различных решений M' и М" эти точки соответствуют друг другу в одной и той же инверсии относительно Я, заметим, что (а — координата точки H) HM' • HM" = — (хг — а) (х" — а) = х'х" — а (х' -f- х") -f- а2. Подставляя сюда х'V1 -f л:"
и Gt = ^, получим ЯМ' . ЯЛ4" = ^. Точки АГ и Мгг соответствуют друг другу
Irr 96\ п 96
в инверсии (Я, J. Степень инверсии оказалась равной степени точки Я
относительно (О) и (О') вот почему: если k = 0, то точки AT и М" являются точками, в которых окружность (О') пересекает ось х'х, и произведение HM' • HM" должно быть равно степени точки Я относительно (О') [и (О)].
2°. Окружности, проходящие через Я, касающиеся (О) и ортогональные (О'). Обозначим через р степень только что рассмотренной инверсии. В инверсии (H1 р) окружности (О) и (О') инвариантны, а всякая окружность, удовлетворяющая условию задачи, преобразуется в прямую, касающуюся (О) и ортогональную (C)1 т. е. в касательную, проведенную из точки О' к окружности (О). Таких касательных существует две; значит, и окружностей, удовлетворяющих условию задачи, также две. Пусть (С) — одна из них и (D) — прямая, полученная из (С) инверсией (H1 р). Если окружность (F) пучка (F)1 определяемого окружностями (О) и (О'), касается (C)1 то так как (F) инвариантна в инверсии (Я, р), то (P) касается и прямой (D). Остается установить, что в пучке (F) существуют окружности, отличные от (С) и касающиеся прямой (D). Мы знаем уже одну окружность пучка (F), касающуюся (D) — это окружность (О); пусть T — точка прикосновения прямой (D) к окружности (О). Если К — точка, в которой пересекаются (D) и радикальная ось (А) окружностей (О) и (О'), то другая окружность (F) пучка (F)1 касающаяся прямой (D), должна касаться (D) в точке S, симметричной T относительно /\. Центр этой окружности (F) лежит в точке пересечения прямой 00' с перпендикуляром, проведенным в точке S к прямой О'Т.
38 П, С. Моденов
594
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
3°. Окружности, проходящие через точки H и / и касающиеся данной окружности пучка (F). Окружность, построенная на TS как на диаметре, ортогональна окружности (О), а ее центр К лежит на радикальной оси окружностей (O) и (О'); значит, эта окружность принадлежит пучку, сопряженному с (F);' следовательно, проходит через предельные точки / и /' пучка (F) (чертеж 180). Обозначим через / одну из них, например ту, которая лежит внутри (О). Точка H лежит вне любой окружности пучка (F); значит, для того чтобы через точки H
и / можно было провести окружность, касательную к данной окружности (F) пучка (F)1 необходимо и достаточно, чтобы и точка / лежала вне (F)1 т. е. чтобы (F) была любой из тех окружностей, которые содержат внутри себя вторую предельную точку /'. Предположим, что окружность (F) пучка (F) изменяется, удовлетворяя этому условию. Пусть M — точка прикосновения с ней какой-нибудь из двух окружностей, проходящих через I тл H и касающихся ее. Для того чтобы найти геометрическое место точек M1 произведем инверсию (H1 /У/2) (черт. 181). В этой инверсии точка / и окружность (F) инвариантны, а каждая окружность, проходящая через I и H и касающаяся (F)1 преобразуется в прямую, проходящую через / и касающуюся (F); точка Al преобразуется, следовательно, в точку M' прикосновения касательной, проведенной из / к (F). Окружность с диаметром IM' принадлежит пучку, сопряженному с пучком (F)1 ибо эта окружность ортогональна окружности (F) и <окружности-точки» Л Значит, эта окружность проходит и
через точку а потому /_ IFM' = 90°. Таким образом, точка M' расположена на перпендикуляре к ОО', проведенном через точку /'; точка M' при изменении (F) может занимать на этом перпендикуляре всевозможные положения; значит, указанная прямая и есть геометрическое место точек M'. Геометрическое место точек M получается из этого геометрического места "в результате инверсии (H1 HP) — это окружность, построенная на FH как на диаметре.
Определение такой окружности (F), для которой две предыдущие окружности будут ортогональны. Для того чтобы две окружности, проходящие через точки / и H и касающиеся (F)1 были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы прямые, полученные из них в инверсии (H1 HP)1 были также ортогональны, иначе говоря, чтобы касательные, проведенные из точки / к окружности (F)1 были наклонены под углом 45° к оси х'х. Это будет так, если прямоугольный треугольник IM'il (черт. 182) [Q — центр окружности (F)] равнобедренный и /'—- середина /12. Итак, центр окружности (F)1 для которой окружности, проходящие через точки / и H и касающиеся окружности (F) пучка (F)1 будут ортогональны, есть точка L>, симметричная / относительно F.
