Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
значениям ki и &2 соответствует одна и та же окружность, если k2— U1 = O(ITiOd/?). Мы видим, что достаточно дать для k следующие значения: 0, 1, 2, п—1, чтобы получить полностью все геометрическое место.. Оно состоит, таким образом, из п окружностей (Гк), проходящих через В и С и касающихся прямых CTk(k = 0, 1, 2, ... , п—1),
таких,
что (CB, CTk) = a (mod . Если для какого-нибудь
значения k мы будем иметь а -\—— = 0, то соответствующая окружность вырождается в прямую линию.
Черт. 199.
б) Определение точек
/ А тЛ MC 1 = 0(mod— J и
ческое местэ точек
ВС
состоит из прямой касающихся CTj2 в точке С,
л—1
MB 2
M таких, окружностей (Г/,),
M
На
таких, что
основании
(MB, MC) -а) геомстри-
что (MB, MC) = O проходящих через
причем (CB, CTk) = —— (k :
1, 2,
п -
(mod ¦J) Ви Си - 1). Гее-
место точек M таких,
MC
1
-g- есть окружность IJ прямой ВС, заключенный между точками / и
что MB
(V.), имеющая / такими, что
= — -=- == —. Точка / симметрична В относительно С, а / находится на от-
мстрическое диаметром отрезок
Tc ^ Tc _^ і
IB JB 2
резке ВС и отстоит от точки С на расстоянии одной трети ВС (черт. 200). Искомые точки M суть точки пересечения ВС и окружностей (Tj1) с окружностью (V.). Прямая ВС пересекает (V.) в точках InJ; точка /,лежит вне каждой окружности (Tk), а /—внутри; значит, (12) пересекает каждую из окружностей (Tf1) в двух точках. Мы получаем окончательно 2п искомых точек, лежащих на (V).
Многоугольники Pi и Рр. Если мы соединим найденные(точки последовательно в том порядке, как мы' их встречаем на окружности (V), описывая ее в произвольном направлении, то мы получим выпуклый многоугольник P1, вписанный в окружность (Q). Пусть M0, M1, M2, ..., М2п_х — последовательные вершины этого многоугольника. Если мы будем соединять точку Al0 с точкой Mp, затем с точкой М2р и т. д., то получим звездчатый многоугольник, вписанный в окружность (12).
Выбор р, при котором p1 и Рр будут иметь одинаковое число сторон. Рассмотрим многоугольник Рр; его вершина номера X (M0 — нулевая, Мр — первая и т. д.) есть М)р, и мы впервые вернемся к M0 тогда, когда Ip есть наименьшее
общее кратное чисел р и 2/г. Следовательно, как известно из арифметики, X есть частное от деления 2/г на наибольший общий делитель р и 2/г. Следовательно, для того чтобы Pp имел то же число сторон, что и P1, необходимо и достаточно' чтобы числа р и 2п были взаимно простые, т. е. их наибольший общий делитель
M
в порядке M0, мы
Mn, M
2/7,
и соединяя их
был равен 1. Но соединяя точки
в обратном порядке M0, М2п_р,..., мы получим тот же многоугольник. Значит, можно считать, что р меньше половины її от 2/г. Итак, для того чтобы P1 имели одинаковое число сторон, необходимо и достаточно, чтобы числа р и были взаимно-простые и р < п.
в) Инверсия, преобразующая точки M в вершины M' правильного многоугольника. Окружности (Гк), проходящие через точки В и С, сопряженные точкам / и_У, ортогональны окружности (L). Произведем инверсию с полюсом В и степенью BI- BJ. Окружность (Q) инвариантна в этой инверсии, а окружности (Гк) преобразуются в прямые, ортогональные к (Q), т. е. в ее диаметры. Далее, эти диаметры должны быть параллельны касательным CTk в точке С к окружностям (P^);
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 607
но эти касательные образуют последовательно углы, равные ~, и значит прямые,
в которые преобразуются окружности (rk), образуют между собой последовательно равные углы. Значит, точки М, преобразующиеся в концы диаметров окружности (Q)
TC
образующих последовательно углы — , являются вершинами правильного 2я-уголь-
ника, вписанного в (Q). Таким образом, выпуклому многоугольнику соответствует
Черт. 201. Черт. 202.
выпуклый правильный многоугольник Qi, а звездчатому многоугольнику Рр соответствует звездчатый правильный многоугольник Qp, имеющий вершинами точки M'. В случае п = 6 единственное число, меньшее п и взаимно-простое с ним, есть 5. На черт. 201 и 202 изображены P1, P5, Q1 и Q5.
II. а) Геометрическое место центров окружностей, вписанных и вне-вписанных в треугольник ABC.
Если точка А описывает окружность (P), проходящую через фиксированные точки В и С, то (AB, AC) = a (mod тс), где а — постоянный угол. Центры /, 1а, 1Ь, 1С окружностей, вписанных и вневиисанных в треугольник ABC, суть точки пересечения биссектрис внутренних и внешних углов треугольника ABC Биссектрисы (Ь) угла В определяются соотношением (BA, ВС) == 2 (о, ВС) (mod тс), а биссектрисы (Ьг) угла С — соотношением (ВС, CA) = 2 (ВС, о") (mod тс). Если точка M лежит на пересечении (Ь) и (Ъ'), то мы имеем (складывая) (AB, AC) =
2 (MB, MC) (mod тс), откуда (MB, MC) = ~ (AB, AC) (mod ~J, или
(MB, MC) = ^ (mod (2)
На основании I, а), геометрическое место точек M1 удовлетворяющих условию (2), состоит из двух окружностей: (C0) и (C1), определяемых соотношениями
(C0) (MB, MC) = |- (mod тс),
