Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
7°. Огибающая прямых EL и GN. AC ±/V; значит, V—вершина квадрата, описанного вокруг окружности (12); NG, следовательно, — сторона квадрата, вписанного в эту окружность так же, как и EL. Значит, прямые NG и EL касаются
окружности (Q1), концентричной (12) и радиуса Аналогичны и результаты
для N'G' и E'1L'; они касаются окружности (Q1), концентричной (Q') и радиуса • В соответствии с границами огибающих, найденных выше, заключаем, что огибающая прямых NG и EL есть четверть окружности (Q1), ограни-ченная радиусами QP и QQ, а огибающая NrGr и E'L' составляет у полной
окружности (Qj), ограниченной радиусами Q'P и Q'Q.
III. Г. Необходимое и достаточное условие того, что треугольник ABC есть треугольник (T). В части I мы видели, что для этого необходимо и достаточно, чтобы
Yr3 : Yr1 Y Ri
0)
Этим соотношением связаны длины Rx + r?, R2 + Рз и R3 + ^1 сторон треугольника (T). Так как возможны все комбинации знаков, заключающие в себе один знак минус, то (1) эквивалентно соотношению
/_!_ . 1 . 1 \/ 1 _ 1___LW
\Vr~3 V% V'R2)Wr3 уЖ V«2/
х (тж ~ уж+уж ) (уж+уж "~ уж) ^0>
или
Обозначая через г радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, имеем r = Ri tg^=*^^*3^-
Значит,
J_ J_ J_ A_ b C R1-r2-r3 g 2 * § "2 " g 2"
и (Г) эквивалентно соотношению
Но в любом, треугольнике tg-g- tg -y-f-tg ytg -y + tg tg -g- = 1. Отсюда и из (l") находим *
tg 4 + ,g f+tgT=2- (2)
Обозначая через /-ь г2, /*3 радиусы окружностей, вневписанных в треутоль-
abc ник ABC, будем иметь: r1=/?tg-jT-, /-2 — ^ tg -^-, /-3 =/? tg у , откуда и из (2)
Гі + г2 + г3 = 2р.
2°. Определение углов (T), если известно отношение -—¦ = k. Положим <i = tgy, *2 = tg-|-f /3 = tgy. Тогда + *2 -г к -2, ^2 + ^3 + ^1 = 1-
* Сначала получим tg2 ~ + tg2 -у + *g2 у = 2, затем
tg24 + (22| +'S2 §- + 2tg4tg-|+2t8Ttgf+ 2tgTtgT = 4
и т. д.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 605
ЛВС Далее: tlt2t3 = tg — tg -j tg
г3 r>,-3
р — а р — Ь р -= ——— = —, Если известно отношение
нения
С (р — а)(р-
= k> то t{, t2, tz -
b) (р~с) -корни урав-
*з _ 2/2 _|_ t = ^
Рассмотрим
(3)
функцию то она
где t > 0.
Исследование
у = *2__2*2-К 1) Если 0 < /.
4 1
возрастает от 0 до 2) если -^-<^<1,
то она убывает от
она возрастает от 0 до 4
Значит, если 0 < k < ^, прямая у = к пересекает кривую у = /3 — 2г2 --f f в трех различных точках; абсциссы tx, t2, tz точек пересечения
1
27
до 0; 3) если t 5> 1, то + со (черт. 198).
удовлетворяют неравенствам 0 <: t 4 |"4___
3
1 - *з
^ .у— абсцисса точки пересечения прямой у = ^ и кривой (С),
при этом два корня совпадают . Если к ¦
4 4
tf3 = . Если k > 27> прямая у
: 2у , имеется двойной корень == t2 = ,
: & пересекает кривую (С) только в одной точке
4 4
с абсциссой, большей -g- . Задача, значит, возможна, если 0 < к < • ? этом СЛУ"
чае углы А, В, С определены тангенсами их половин. Из предыдущего следует,
^ г> , л С 1 ? тс Л
что если мы будем считать С < В < А, то 0 < -^- < arctg -g- < -g- < -у < <
< arctg или 0
1 Tz 4
2 arctg < В < A <2 arctg .
Треугольник (T) равнобедренный. Треугольник (T) равнобедренный тогда
4
и только тогда, когда уравнение (3) имеет двойной корень; это будет при k = •
1 4
Углы треугольника ABC в этом случае таковы: C=B = 2 arc ig , Л = 2агсі?-д-.
3J. Новая форма необходимого и достаточного условия того, что треугольник ABC есть треугольник (T). Соотношение (2) можно переписать так:
-------- і---- -j----= 2, или
/; — л р — о р — с
be -~ са ab -
(p — a)(p — b)(p — c)
:2.
(4)
По рг = ]/~р(р — а)(р — Ь) (р — с); значит, рг2 = (р — а) (р — Ь) (р — с) --- р (Ьс са ab — р2) — abc, а так как abc — 4Rs = 4Rpr, то 6с -f- са -j- #6 — /?2 =
г (4 R -f- г). Соотношение (4) принимает вид г ^1LiZl — 2 или 47? -j- г = 2р.
Это необходимое и достаточное условие того, что треугольник ABC есть треугольник (T).
73. Ї. а) Геометрическое место точек M таких, что (MB, MC) — a ^mod ~j.
Заметим, что если в плоскости фиксированы точки В и С, то геометрическое место точек M таких, что (MB, AfC) = a (mod т:), где (MB, MC) — ориентированный угол от неориентированной прямой MB до неориентированной прямой MC, а а —данный угол, есть, вообще говоря, окружность (Г), проходящая через точки В и С и касающаяся прямой CT такой, что (CB1 CT) = a (mod ти). Рассмотрим теперь в той же плоскости точки M такие, что
mb, mc) = a (mod ,
(D
606 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
где ті-—данное целое положительное число. Соотношение (1) равносильно следующему:
(MB, MC) = a -j- k ~ , где k — какое угодно целое число. Каждому значению к
соответствует окружность (Гк), проходящая через В и С и касающаяся прямой CTk
такой, что (CB, CTk) = a -j- k — (черт. 199). Двум различным
