Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
(C1) (MB, MC)=-^ + -J (mod
Окружности (C0) и (C1) проходят через Л и С и касаются в точке С прямых CT0 и CT1, которые определяются равенствами (CB, CT0) = у (mod тс),
(CB, CT1) = ™ -f- -^- (mod г.). Это прямые, соединяющие точку С с серединами оо0
и W1 дуг (P), на которые эта окружность (P) разделяется хордой ВС. Точки о>0 и W1 суть центры окружностей (C0) и (C1), и эти окружности ортогональны.
Выделение из (C0) и (C1) геометрического места центра вписанной окружности и геометрических мест центров вневписанных окружностей в треугольник ABC. Легко проследить по непрерывности, что описывают точки /, 1а, Ib, 1С на найденном геометрическом месте в целом. Для этого следует заметить, что если точка А описывает дугу Co)0B окружности (P), то биссектриса внутреннего угла А вращается вокруг точки W1, а биссектриса внешнего угла А вращается вокруг со0, в то время как, если А описывает дугу BcO1C окружности (P), биссектриса внутреннего угла А вращается вокруг со0, а биссектриса внешнего угла
608 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
А — вокруг со,. На черт. 203 сплошной линией выделено геометрическое место центров вписанных окружностей. Пунктиром вида —-----обозначено геометрическое мес !о точек 1Ф пунктиром---------обозначено геометрическое место
точек //>, а пунктиром------------обозначено геометрическое место точек 1С.
Заметим, что части дуг ограничены точками B0, C0, B1, C1, в которых окружности (C0) и (C1) пересекаются прямыми, проходящими через BnC перпендикулярно ВС.
б) Построение треугольника ABC9 если дано BC1 описанная окружность
и отношение = т, где M — центр окружности, вневписанной в угол А
треугольника ABC. Зная сторону ВС и окружность (Г), описанную вокруг треугольника ABC, на основание п. а) можно построить геометрическое место
Черт. 204.
точек M центра окружности, вневписанной в угол А треугольника ABC (черт. 204) — это две дуги: одна B0C0 окружности (C0) с центром <о0 и радиусом W0B0 и другая B1Ci окружности (C1) с центром Co1 и радиусом O)1B [берутся дуги вне (Г), заключенные между перпендикулярами к ВС в точках В и С]. С другой стороны,
известно, что т = -щ? — второе геометрическое место точек M есть окружность (Q), диаметром IJ которой является отрезок прямой ВС между точками /
Tc Jc
и J такими, что = — -=r = т. Если точка Mх точка, общая для B1C1 и (Q), / В JB
то прямая W1M1 пересекает (Г) во второй точке A1, которая есть искомая вершина. Аналогично, если M0 есть точка пересечения B0C0 и (Q), то прямая со0Л10 пересекает (Г) во второй точке A0, которая также искомая вершина. Имеется, таким образом, столько решений, в скольких точках (Q) пересекает дуги B0C0 и B1C1.
Исследование. При исследовании будем предполагать, что 0 < т < 1 и что W1 — середина наименьшей дуги (Г), расположенной под хордой ВС; в этом случае угол Z ?co0C острый, который мы обозначим через а. Заметим, что B1 — точка, диаметрально противоположная точке В на (C1); если M1 описывает B1Cь то отно-M1C ,
шение ? (в котором числитель растет, а знаменатель убывает) будет возрастать
В\С а *
и, значит, минимум этого отношения "ь-Цт ~ sin -Q- • Аналогично точка B0 ДНаМе-Х-ї 1L> Z
трально противоположна точке В на (C0); если M0 описывает BjC0, то отноше-M0C
ние -jjj-gr, в котором числитель растет, а знаменатель убывает, будет расти, и,
ВС ОС
значит, минимум этого отношения равен -^n- = cos ~. Мы видим, что если
U0D
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 609
m<sin~, то (Q) не пересекает B^C1; значит, решений нет; если /n==siny, то (Q) пересекает BxCx в точке B1; этому случаю соответствует треугольник, выродившийся в отрезок ВС; если sin < т < cos у, то (Q) пересекает B1Ci1
но не пересекает B0C0; значит, имеется только одно решение; если W = COSy, то (Q) пересекает B^1 (это будет настоящий треугольник) и проходит через B0 (что дает решение, выродившееся в отрезок ВС); наконец, если cos у < т < I1
то (Q) пересекает B1Cx и B0C01 что дает два решения AxBC и A0BC
в) Тригонометрическое решение треугольника ABC; дано ВС = а, радиус R
MC
описанной окружности (Г) и отношение д^ = ^» гДе ^ — центр окружности,
вневписанной в угол А треугольника ABC. Достаточно подсчитать углы треугольника ABC1 так как значение радиуса R описанной окружности сразу позволяет определить и стороны b = 2R sin B1 c = 2R sin С. Углы треугольника ABC
удовлетворяют соотношениям А + В + С = тс; sin Л = -^-; cos у: cos у- = m
(последнее соотношение получается, если использовать теорему синусов для треугольника МВС). Предположение я<2#, конечно, имеет место [ибо ВС есть
хорда (Г)], и мы видим, что соотношение sin А = позволяет определить два значения для А: одно А = а, где а — острый угол, другое Л = л— а. Остается определить В и С Имеем: В + С = я — a, cos у : cos у- = m; отсюда
В С CB C1B
cos у- cos у cos у--cos у cos у- + cos у
т 1 1 — т \ -\- т
с + в с~-в 0 t с + в t с—в
