Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Окружности семейства, касающиеся двух данных прямых: (А) и (A'). Для того чтобы окружность данного семейства, касающаяся (Д), касалась бы и (Д'), необходимо и достаточно, чтобы ее центр лежал на любой из биссектрис углов между прямыми (Д) и (A') или на прямой, находящейся на равных расстояниях от (Д) и (Д'), в случае, если эти прямые параллельны. Таким образом, вопрос о нахождении окружности семейства, касающейся прямых (Д) и (Д'), сводится к нахождению точек пересечения прямой с равносторонней гиперболой (H).
3°. Вычисление . Приложение. Сразу находим —— = 2, поэтому, если АН АН
известна точка Н, можно построить точку О, продолжая отрезок АН за точку H на расстояние, равное его длине. Радиус искомой окружности семейства равен стороне квадрата с диагональю АО.
4°. Радикальная ось двух окружностей рассматриваемого семейства. Для того чтобы доказать, что эта радикальная ось есть медиатриса отрезка H1H2, достаточно доказать, что центр / окружности (AH1H2) — точка, лежащая на этой медиатрисе, имеет одинаковую степень относительно окружностей (O1) и (O2). Точка Hx — есть основание поляры точки А относительно окружности (Ox). Значит, точки А и Hx делят гармонически тот из диаметров этой окружности, который лежит на прямой AOx; окружность (AHxH2), проходящая через точки А и Hx, следовательно, ортогональна окружности (O1); аналогично она ортогональна и
Черт. 192.
600
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
окружности (O2). Значит, центр / этой окружности имеет одну и ту же степень относительно окружностей (O1) и (O2) (квадрат ее радиуса).
5°. Геометрическое место точек Я, если окружность (О) остается ортогональной данной фиксированной окружности. Пусть (O1) — какая-нибудь фиксированная окружность рассматриваемого семейства, ортогональная окружности (со) радиуса р, а (О) — произвольная окружность данного семейства, ортогональная (со); пусть O1 и О — центры этих окружностей, a H1 и H—середины отрезков AO1 и АО. Точка со имеет одну и ту же степень р2 относительно каждой из рассматриваемых окружностей, лежит на их радикальной оси, а также на медиатрисе отрезка H1H (см. 4°); значит (черт. 193), CoZZ1 = оіН, откуда следует, что точка H расположена на окружности с центром со, проходящей через точку H1. Обратно: пусть H—какая-нибудь точка этой окружности, а (О) — соответствующая окружность семейства; тогда точка со, расположенная на медиатрисе отрезка H1H1 имеет одну и ту же степень относительно окружностей (O1) и (О), и так как ее степень относительно окружности (O1) равна р2, то ее степень относительно окружности (О) также равна р2; значит, окружности (О) и (O1) ортогональны. Таким образом, если окружность (О) данного семейства меняется, оставаясь ортогональной окружности (со), то геометрическое место точек H есть вся окружность с центром со. Чтобы уточнить положение этой окружности, достаточно построить одну ее точку. Пусть E—одна из точек, в которой окружность (со) пересекает прямую Лео. Построим одну из точек Н, соответствующую окружности семейства, ортогональной окружности (со) в точке Е. Эта окружность должна касаться прямой Лео в точке E и должна быть вписана в прямой угол с вершиной Л; значит, она должна касаться любой из полупрямых, выходящих из Л и перпендикулярных Лео; пусть Ax — такая полупрямая; точка T прикосновения окружности (О) с Ax такова, что AT = AE; точка H—середина ТЕ.
За мечание. Нетрудно вычислить радиус этой окружности. Пусть О — центр, a R — радиус окружности семейства, соответствующей построенной точке Н; точка H—середина OA. Из треугольника ЛшО, применяя теорему о медиане, получим со Л2 + о)02 = 2со#2 -f- 2AH2; полагая соЛ = d, в силу ортогональности окружностей будем иметь coQ2 = R2 + р2, откуда d2 + R2 + р2 = 2to#2 + R2, следова-
Черт.
ТеЛЬНО, о),
d2 + P2
Геометрическое место центров О получается из геоме-
трического места точек H гомотетией (Л, 2).
72. Изучение фигуры, образованной окружностями (а), (?), (у), касающимися внешне друг друга и имеющими общую внешнюю касательную.
I. Построение (у), если известны (а) и (?). Произведем инверсию (P1 PQ2 = Ad2). Окружность (3) остается инвариантной так же, как и общая внешняя касательная (А); окружность (а) преобразуется в прямую (о), параллельную (Д) и касающуюся окружности (?) в точке Q', диаметрально противоположной Q на окружности (?) (черт. 194). Искомая окружность (7) преобразуется, вообще говоря, в окружность (F)1 касающуюся (?), (A) и (Ь). Эта окружность (F) равна окружности* (?) и касается окружности (3) по одну или по другую сторону в точках и
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 601
и и', расположенных на диаметре окружности (?), параллельном (Л). Имеется, следовательно, вообще говоря, два решения: ({) и (y)- Окружности (Г) и (F') касаются (Ь) соответственно в точках v и v\ а (А) — в точках z и z' таких, что Q'v = Q'v' = Qz = Qx' === 2P2. Построим центр С окружности (у). Прямая Pu вторично пересекает (а) в точке V1 а прямая Pu вторично пересекает (3) в точке LL Центр С есть точка пересечения AV и BU Центр С окружности (y) строится аналогично. Построение точек T и T' прикосновения просто.
