Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Дать геометрическое построение треугольника ABC.
3°. Изучить изменение высоты AH=H при условии, что угол А изменяется.
Начертить кривую, представляющую зависимость h от А, полагая а = 1 (угол А измеряется в радианах). 4°. Найти А, если задано h\ исследовать.
5°. Найти геометрическое место середины стороны AB и середины биссектрисы угла А, если А переменное. 117*. Рассмотрим равнобочную трапецию, площадь которой равна 1 лі2, большее основание — AD1 меньшее — BC1 непараллельные стороны — AB и CD.
Обозначим острый угол прямой ВС с прямой CD через 6; полусумму оснований — через х; AB + ВС + CD = р\ высоту — через h\ длину отрезков — через ВС и AD1 ? и ?'.
1°. Сколько надо задать размеров из числа указанных, чтобы полностью определить такую равнобочную трапецию площадью 1 м2? Дать несколько примеров условий, определяющих эту трапецию. 2°. Вычислить р в функции б и х.
3°. Пусть X задано; определить трапецию, для которой р минимально. При каком значении б будет получен этот результат?
4°. Доказать, что каждому произвольному значению х соответствует минимум функции р от б. Какое значение надо дать X1 чтобы получить наименьший из этих минимумов?
5°. Для трапеции, определенной в вопросе 4°, вычислить BC1 h и AB. Какое простое замечание можно сделать по поводу этой трапеции? 118**. В треугольнике ABC дан периметр 2р, радиус г вписанной окружности и высота H1 выходящая из вершины А.
1°. Вычислить его стороны и углы (при вычислении Ъ и с найти сначала &+ C1 затем be).
2°. Какое соотношение должно существовать между /?, г и /г, для того чтобы А = 90°?
3°. Пусть р = б, h = 3. Каковы границы изменения г, при которых
треугольник ABC существует? 4°. Вычислить стороны и углы треугольника, если р = 6> & = 3, /•=1.
392
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
119**. Обозначим через DhD' точки пересечения биссектрис (внутренней и внешней) угла Л треугольника ABC со стороной ВС, а через Z и V—длины этих биссектрис.
1°. Решить треугольник, зная UVhA (выразить длины сторон
через /, V9 А и угол U9 определенный соотношением tg«=~j.
Дать геометрическое построение треугольника, если даны /, V и А.
2°. Пусть заданы точки D и D' и величина угла А (0 < А < тс). Каково геометрическое место точек Л?-Доказать, что стороны AB и AC проходят через две фиксированные точки InJ. Построить эти точки. Как расположены точки В и С при условии, что точка А занимает в условиях вопроса всевозможные положения? Построить треугольник, если дана:
а) середина А' стороны ВС; исследовать;
б) точка P9 из которой сторона ВС видна под прямым углом;
исследовать.
120**. Построим произвольный треугольник ABC
1°. Вычислить в функции синусов углов этого треугольника отношения /, т, п каждой стороны а9 Ь9 с к соответствующей высоте. 2°. Дано отношение / и угол А\ вычислить углы В и С Провести исследование.
3°. Построить треугольник, зная а, I9 А. На Яти условие возможности построения.
4°. При каком условии, наложенном на а, I и A9 треугольник будет равнобедренный? Прямоугольный? 121*. Г. Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника со сторонами a, b9 C9 d может быть вычислена по формуле
S1 — (р — а) (р — Ь) (р — с) (р — d) — abed cos2 .
2°. Доказать, что
А -1- С
х2у2 — (ас -j- bd)2 — iabcd cos2 —^—,
где X и у — длины диагоналей. 3°. Доказать, что если заданы отрезки а9 b9 C9 d9 то необходимое и достаточное условие того, что можно построить выпуклый четырехугольник со сторонами а9 b9 C9 d заключается в том, что наибольшая из длин а9 b9 C9 d меньше суммы трех остальных. 4°. Доказать, что если наибольшее из чисел а9 b9 C9 d меньше суммы трех остальных, то существует выпуклый четырехугольник со сторонами а9 b, с9 dt около которого можно описать окружность; из всех выпуклых четырехугольников этот четырехугольник будет с наибольшей площадью и максимальным произведением диагоналей. 122**. Обозначим через И ортоцентр какого-нибудь треугольника ABC через А' — основание высоты, опущенной из вершины A9 через О — центр окружности, описанной около треугольника ABC; наконец, пусть M — середина ВС
1°. Где находится центр гомотетии и каков ее коэффициент, если эта
гомотетия вектор НА переводит в вектор ОМ? 2°. Установим на прямой AA' положительное направление от Л к А' и положим AA' = h9 AH = d. Вычислить h и d в функции радиуса R окружности, описанной около треугольника, и в функции его углов.
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
393
3°. Вычислить углы А, В, С треугольника, зная h, d и R. Исследовать.
4°. Построить треугольник, зная h, d и R (сначала построить точку О).
Получить отсюда еще раз результаты предыдущего исследования. 5°. Построить треугольник ЛВС, зная центр О описанной вокруг него окружности, ортоцентр H и вершину Л. Если точки О и H фикси-' рованы, в какой области может находиться точка Л, чтобы построение быЛО ВОЗхМОЖНО? 123**. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами
BC = a, CA = Ь, АВ = с
и углами Л, В, С; предположим, что В > С. Пусть О — центр окружности, описанной вокруг этого треугольника, радиус этой окружности равен R. Сторона ВС и окружность (О) пересекаются с биссектрисой внутреннего угла соответственно в точках D и Е, а с биссектрисой внешнего угла — соответственно в точках D' и Er. Обозначим через / центр окружности, вписанной в треугольник ABC, а через Ia, Ib, I0— соответственно центры окружностей, вневписанных в углы А, В и С. 1°. Доказать, что поляра точки / относительно окружности с диаметром DD' проходит через Iа. Что можно сказать про расположение точек 1Ъ и I0 относительно этой окружности? Доказать, что проекция ibic отрезка IJ0 на ВС равна Ь-\-с. Вычислить в функции углов В и С угол AD'B. 2°. Приложить полученные результаты 1° к построению треугольника по следующим данным:
