Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
127. Определить угол А между данными сторонами b и с треугольника, если медиана, выходящая из вершины Л, есть средняя пропорциональная между b и с.
128. На одной из сторон острого угла ср даны две точки, расстояния которых от другой стороны угла равны а и Ь. Определить радиус окружности, проходящей через эти две точки и касающейся другой стороны угла или ее продолжения.
129. Зная углы треугольника, определить угол х между медианой и высотой, проведенными из вершины какого-нибудь угла.
396
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
J30. Угол В между боковыми сторонами равнобедренного треугольника ABC равен 2а. В каком отношении делится площадь этого треугольника прямой, проходящей через середину высоты треугольника hb и наклонной под углом ? к продолжению основания его?
131. Расстояние между центрами двух расположенных в одной плоскости кругов радиуса R равно сі. Определить площадь части второго круга, лежащей вне первого круга.
132. Непараллельные стороны трапеции перпендикулярны друг другу; одна из них, равная а, составляет с диагональю угол a, a другая образует такой же угол а с большим основанием. Вычислить площадь трапеции.
133. Две квадратные пластинки расположены так, что центры их совпадают, а угол мгжду их диагоналями равен а. Определить периметр и площадь образовавшейся восьмиконечной звезды, если сторона каждой пластинки равна а.
134. Внутрь острого угла а вписано п кругов: C1, C2..... Сл так, что круг C2
касается внешне кругов C1 и C3, круг C3 касается внешне углов C2 и C4 и т. д. Доказать, что радиусы этих кругов образуют геометрическую прогрессию. Найти зависимость между знаменателем прогрессии и величиной острого угла а.
135. Доказать, что если прямая Эйлера параллельна стороне треугольника, то тангенсы углов треугольника составляют арифметическую прогрессию.
133. В треугольнике ABC даны: угол А, высота hb и радиус R описанного круга. Вычислить его площадь.
137. Стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найти
А С
произведение ctg -g- ctg , где А — наибольший, а С — наименьший угол.
138. Найти сторону а треугольника ABC, если даны радиус г вписанной в него окружности, угол А и площадь 5.
139. Дан прямоугольный треугольник ABC (С — прямой угол). Из вершины А радиусом, равным катету АС, описана дуга, пересекающая гипотенузу в точке Е. Из вершины В радиусом, равным катету ВС, описана дуга, пересекающая гипотенузу в точке D. В криволинейную фигуру CDE вписан равносторонний треугольник CMN, причем точка M .лежит на дуге CD, а точка N — на дуге СЕ. Определить площадь треугольника CMN, если площадь треугольника ABC равна Q, а дуга MD равна половине дуги СМ.
14Э. Определить углы равнобедренного треугольника, в котором высота вдвое больше биссектрисы угла при основании.
141. Доказать, что если стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию, то и котангенсы половин углов треугольника также составляют арифметическую прогрессию.
142. В каком отношении делится площадь правильного треугольника прямой, проходящей через середину стороны его и составляющей угол, равный а (О < а < 9CP)1 с этой стороной?
143. Вычислить площадь треугольника по углам и по одной из медиан.
144. Каждая из непараллельных сторон равнобочной трапеции равна меньшему ее основанию. Большее основание относится к меньшему, как т : я. Определить углы трапеции.
145. На четырех сторонах квадрата как на основаниях построены во внешнюю сторону равнобедренные треугольники, боковая сторона каждого из которых равна а. Каков должен быть угол при вершине каждого кз построенных равнобедренных треугольников, чтобы площадь получившегося при этом построении многоугольника имела бы наибольшую величину?
143. Найти сторону квадрата, вписанного в сегмент круга радиуса а% если хорда этого сегмента стягивает дугу а.
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
397
147. Расстояние между центрами двух кругов равно d. Общая внутренняя касательная их составляет с линией центров угол, равный a, a общая внешняя касательная их составляет с линией центра угол, равный ?. Определить радиусы этих кругов.
148. Из точки А, лежащей вне круга радиуса г, проведены касательная AB и секущая АС. Определить площадь треугольника ABC, если секущая наклонена под углом а к касательной AB и проходит на расстоянии, равном d от центра круга.
149. Хорда, проходящая через точку М, лежащую внутри окружности, делится
этой точкой в отношении ~. В каком отношении делит данную окружность .эта хорда, если она образует угол ср с диаметром, проходящим через точку М?
150. Через точку, лежащую внутри круга радиуса R, проведены две взаимно перпендикулярные хорды, расстояния которых от центра круга равны а и Ь. Определить площадь части круга, ограниченной этими хордами и наименьшей дугой этой окружности, соединяющей их концы.
151. В круговой сектор О AB, центральный острый угол которого равен а, а радиус г, вписан прямоугольник данной площади s, одна из сторон которого лежит на радиусе OA. Вычислить стороны этого прямоугольника.
